「学习笔记」等差数列、等比数列求和

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等差数列

像这样的数列 \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, \ldots, a_n \quad (a_{i + 1} - a_i = k)\)，相邻两个数的差（大数减小数）都相等的数列，就是等差数列（你看，真的等差）
等差数列求和公式： \(\frac{n \times (a_1 + a_n)}{2}\)
证明：
设等差数列
\(S = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n, S_1 = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n, S_2 = a_n + a_{n - 1} + \ldots + a_1\)

\[\begin{aligned} & 2S = S_1 + S_2\\ & 2S = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n - 1}) + (a_3 + a_{n - 2}) + \ldots + (a_n + a_1)\\ & \because a_{i + 1} - a_i = k\\ & \therefore a_1 + a_n = a_1 + k + a_n - k = a_2 + a_{n - 1} = a_3 + a_{n - 2}\\ & \therefore 2S = n \times (a_1 + a_n)\\ & \therefore S = \frac{n \times (a_1 + a_n)}{2} \quad \square \end{aligned} \]

等比数列

像这样的数列 \(a_1, a_2, a_3, a_4, \ldots, a_n \quad (\frac{a_{i + 1}}{a_i} = k)\)，相邻两个数的比值都相等的数列，就是等比数列
等比序列求和公式： \(\frac{a_{n + 1} - a_1}{k - 1}\)
证明：
设等比序列
\(S = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n, kS = ka_1 + ka_2 + ka_3 + \ldots + ka_n\)

\[\begin{aligned} & kS = ka_1 + ka_2 + ka_3 + \ldots + ka_n\\ & kS = a_2 + a_3 + a_4 + \ldots + a_{n + 1}\\ & kS - S = a_{n + 1} + a_n - a_n + \ldots + a_2 - a_2 - a_1\\ & kS - S = a_{n + 1} - a_1\\ & (k - 1)S = a_{n + 1} - a_1\\ & S = \frac{a_{n + 1} - a_1}{k - 1} \quad \square \end{aligned} \]