矩阵和变换

3D数学基础：矩阵和变换_哔哩哔哩_bilibili

一个矩阵就相当于一个基。

例如:

 

 

这个矩阵是我们常见的基，是笛卡尔坐标系的基。

 

 

 

在这个基的作用下，向量被映射后，还是它本身。相当于是1倍的向量加上2倍的向量。

 

 这也是一个基。

 

在这个基的作用（映射）下，向量被映射成了，这个结果仍然是相当于1倍的第一个基+2倍的第二个基的结果。

一步一步的来：

第1步：首先把第1个基变成：

 

 即把在x轴方向上伸长为原来的2倍。

 

 

 第2步：把第2个基变成：

 

 

 

 第3步：把第2个基变成：

 

 

 

 

 

 

 白色向量在奇怪的坐标系（新基准构成的坐标系）里面，在横轴上还是一个单位，在纵轴上还是2个单位，相当于在新基准中，还是向量。只不过回到原始的坐标系中，就是向量.

 

 

 

 

 

 

 如果是行向量和矩阵相乘，那么，矩阵的每个行向量组成新坐标系的基。如下：

 

但是，一般是考虑矩阵和列向量相乘。

 

注解：

1.先向p向量移动x个单位，再向q向量移动y个单位。

2.假如p、q向量分别是标准笛卡尔坐标系中的x轴和y轴，那么结果就是坐标或者向量

 

 3.p向量和q向量，相当于是标准笛卡尔坐标系中的x轴和y轴。

 

注解：

1.p向量和q向量，还有另外的名字，叫做基向量。

 

 

注解：

1.缩放其实最简单，因为只需要修改矩阵对角线上的元素就行了。

2.在同一个坐标系下，矩阵会把向量[1 2]映射到 [2 -2].

旋转：

 

 

 

坐标系逆时针旋转90°后，新的基向量是和：

 

 

 

 

注解：

1.这其实是个特定方向的旋转，但是我们平时做的旋转很多情况下是有一定度数的旋转。这就需要知道一般的旋转公式。

 

注解：

1.只要知道新的基的坐标就行了，即新的基在原始坐标系的中的坐标(x轴和y轴上的值)，就知道旋转矩阵的样子了。

 

 

 

注解：

1.旋转的度数θ是已知的，因为是给定的度数。

2.新的第1个基向量是一个单位向量。