P10 第三讲 向量组01--线性相关性

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 注解：

1. 线性表出中m个数，k1、k2、k3、... 不要求至少一个不为0，即它们可以全部是0.
2. 线性相关的理解：不全为0就是至少有一个不为0。
3. 线性相关的本质含义就是m个向量里面，至少有一个向量可以被其它向量线性表示。那哪一个向量可以被其它向量线性表示呢？答：前面系数不为0的那个向量可以被其它向量线性表示。
4. 线性相关的那个等于号后面的0代表的是0向量。

 

 

 注解：

1. m个向量，当m=1的时候，即对于只有一个向量的情况下线性相关的说明，假如这个向量是非零的向量，如果要线性相关，则系数不能全为0，即k≠0，但是此时结果不会是0向量，所以单个非零向量不会是线性相关，只能是线性无关。
2. 如果一个向量的情况下，线性相关，则这个向量必是零向量。
3. 零向量线性相关。

 

 

 

 注解：

1. 对立事件事件是：可以由其余n-1个向量线性标出的这样的向量一个也没有。

 

 

 

 

 

注解：

1. 一个向量成为一个小组，如果这个向量不是0向量，那么只有系数k等于0的时候，式子k₁a₁+k₂a₂+...+k_ma_m=0才成立，所以一个向量必是线性无关。

 

 

 

 注解：

1. a1,a2不能比例的情况下，要让k₁a₁+k₂a₂=0成立，k1、k2必须全是0.

 

注解：

1. 左边的两个向量成比例，可以相互表示，它们线性相关。
2. 右边的两个向量不成比例，不平行，它们谁也不是谁的倍数，谁也表示不了谁。

 

 

 

 注解：

1. 如果k₁a₁+k₂a₂+...+k_ma_m=0中推导的k₁,k₂...k_n不全为0，则不是0的那个系数可以除到等号的右边，这意为着至少有一个向量可以由其它向量线性标出，这就意为着向量组是相关向量组。

 

 

 

 注解：

1. 目标数证明这些系数全为0，这样向量组才是线性无关。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

注解：

1. 证明k1,k2,k3中至少有1个不是0就行了。

 

 

 

 

 注解：

1. 因为不知道α₁、α₂是否为0，所以若要上式成立，则只要蓝色方程组成立即可。

 

 

 注解：

1. 方程个数少于未知数个数，必定有无穷多组解。