算法第三章作业

一、实践报告：7-4 最低通行费

1.1 最优子结构与递归方程

设 cost[i][j] 表示网格第 i 行第 j 列的费用，dp[i][j] 表示从左上角 (1,1) 走到 (i,j) 的最小费用。

由于商人必须在 2N-1 个单位时间内从左上角走到右下角，而网格是 N×N 的，从 (1,1) 到 (N,N) 最少需要走 2N-1 步，所以实际上只能向右或向下移动。

递归方程为：

dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + cost[i][j]

边界条件：

dp[1][1] = cost[1][1]
第一行只能从左边来：

dp[1][j] = dp[1][j-1] + cost[1][j]

第一列只能从上面来：

dp[i][1] = dp[i-1][1] + cost[i][1]

1.2 填表法

表的维度：二维表 dp[N][N]。
填表范围：i 从 1 到 N，j 从 1 到 N。
填表顺序：按行从上到下、每行从左到右填表；也可以按列从左到右、每列从上到下填表。只要保证计算 dp[i][j] 时，dp[i-1][j] 和 dp[i][j-1] 已经计算完成即可。
原问题最优值：dp[N][N]，即从左上角走到右下角的最小费用。

1.3 时间与空间复杂度

时间复杂度：O(N^2)。因为需要遍历 N×N 的网格，每个格子只计算一次。
空间复杂度：O(N^2)。需要一个二维数组存储 dp 表。如果使用滚动数组优化，可以降到 O(N)，但本题 N < 100，直接使用二维数组即可。

二、对动态规划算法的理解和体会

动态规划的核心思想是把复杂问题分解成重叠子问题，通过保存子问题的解来避免重复计算。它适合解决具有最优子结构和重叠子问题性质的问题。

最优子结构意味着：一个问题的最优解包含其子问题的最优解。比如本题中，到达 (i,j) 的最小费用，取决于到达 (i-1,j) 和 (i,j-1) 的最小费用。

重叠子问题意味着：在递归求解过程中，同一个子问题会被多次计算。动态规划通过填表或记忆化的方式，把每个子问题只算一次。

写动态规划题时，我通常会按以下步骤思考：

定义状态：明确 dp[i][j] 代表什么含义。
找状态转移方程：思考当前状态如何由之前的状态推导而来。
确定边界条件：找出初始值，避免越界。
确定填表顺序：保证计算当前状态时，依赖的子状态已经算好。
提取答案：确认最终答案对应哪个表格元素。

动态规划和贪心算法的区别在于：贪心每一步都选局部最优，但不一定能得到全局最优；而动态规划会考虑所有可能的选择，通过比较得到全局最优解。动态规划的关键在于正确设计状态和转移方程，这需要多做题、多总结才能熟练掌握。