浅谈牛顿迭代

用途

求方程 \(f(x)=0\) 的数值近似根

可以：

1. 求平方根、开高次根

2. 多项式求逆、多项式开根（多项式牛顿迭代，NTT配套）

实数迭代

迭代公式：

\[x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \]

• \(f'(x)\)：\(f\) 的导数

• 给一个初值 \(x_0\)，不断迭代直到收敛（相邻两次差值足够小）

例：求 \(\sqrt a\)，即解方程 \(x^2-a=0\)
\(f(x)=x^2-a,\ f'(x)=2x\)

代入：

\[x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2-a}{2x_n}=\frac{x_n+\dfrac{a}{x_n}}{2} \]

初值随便取，比如 \(x_0=a\)，迭代几次就非常接近平方根。

double newton(double a){
    double x=a;
    for(int i=0;i<10;i++){
        x=(x+a/x)/2;
    }
    return x;
}

多项式迭代

已知多项式 \(G\)，求 \(F\) 满足：

\[G(F(x)) \equiv 0 \pmod{x^n} \]

迭代核心：

假设已经求出 \(F_0\) 满足

\(G(F_0)\equiv0\pmod{x^{\lceil n/2\rceil}}\)

泰勒展开得到迭代式：

\[F \equiv F_0-\frac{G(F_0)}{G'(F_0)} \pmod{x^n} \]

多项式求逆

求 \(F\) 使得 \(F\cdot A \equiv 1 \pmod{x^n}\)

等价方程：\(G(F)=A\cdot F -1 =0\)
\(G'(F)=A\)

代入牛顿迭代：

\[F = F_0\cdot(2 - A\cdot F_0) \pmod{x^n} \]

这就是多项式求逆的迭代公式。

多项式开根

求 \(F^2 \equiv A \pmod{x^n}\)

\(G(F)=F^2-A=0,\ G'(F)=2F\)

\[ F=\frac12\left(F_0+\frac{A}{F_0}\right)\pmod{x^n} \]

伪代码

poly newton(n):
    if n == 1: 边界
        return 初值
    F0 = newton(ceil(n/2))
    F = F0 - G(F0)/G'(F0) mod x^n
    return F