关于高斯消元求解行列式的证明

$性质一:若交换行列式的任意两行，则行列式取相反数:$

　　$这个性质直接通过行列式的计算方式即可得出:逆序对数一定变化，所以全部取相反数。$

 

$性质二:若行列式某一行的值变为原来的$ $k$ $倍，则行列式的值变为原来的$ $k$ $倍。$

　　$这个性质也可以直接通过行列式的计算方式得出:每一次都会取一个这一行的数相乘，所以总答案也乘$ $k$ $。$

 

$性质三:若行列式的任意两行成比例，则这个行列式的值为$ $0$ $.$

$$ 设 det(A) = \left|\begin{matrix} 1 \times a_{1,1} & 1 \times a_{1,2} & ... & 1 \times a_{1,n}\\ k \times a_{1,1} & k \times a_{1,2} & ... & k \times a_{1,n}\\ ... & ... & ... & ... \\ 1 \times a_{n,1} & 1 \times a_{n,2} & ... & k \times a_{n,n}\\ \end{matrix} \right| $$

$$由性质二得:$$

$$\frac{det(A)}{k} = \left|\begin{matrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,n}\\ a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,n}\\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n,1} & a_{n,2} & ... & a_{n,n}\\ \end{matrix} \right| $$

$$交换第一行和第二行，由于全部数字都不变，所以行列式的值不变；再由性质一得:$$

$$\frac {det(A)}{k} = - \frac {det(A)}{k} $$

$$所以 det(A) 的值为 0 $$

 

$性质四:若两个行列式只有一行不相同，那么这两个行列式可以直接相加$

　　$这个性质很明显吧，直接用乘法分配律就能得到。下面给出行列式具体例子:$

$$ 设 det(A) = \left|\begin{matrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,n}\\ a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,n}\\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n,1} & a_{n,2} & ... & a_{n,n}\\ \end{matrix} \right| $$ $$ 设 det(B) = \left|\begin{matrix} b_{1,1} & b_{1,2} & ... & b_{1,n}\\ a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,n}\\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n,1} & a_{n,2} & ... & a_{n,n}\\ \end{matrix} \right| $$ $$ det(A) + det(B) = \left|\begin{matrix} a_{1,1} + b_{1,1} & a_{1,2} + b_{1,2} & ... & a_{1,n} + b_{1,n}\\ a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n,1} & a_{n,2} & ... & a_{n,n} \\ \end{matrix} \right| $$

 

 

$性质五:行列式的一行加上另外一行的倍数，行列式的值不变$

$$ 设 det(A) = \left|\begin{matrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & ... & a_{2,n}\\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n,1} & a_{n,2} & ... & a_{n,n}\\ \end{matrix} \right| $$ $$ 设det(B) = \left|\begin{matrix} k\times a_{2,1} & k\times a_{2,2} & ... & k\times a_{2,n}\\ 1\times a_{2,1} & 1\times a_{2,2} & ... & 1\times a_{2,n}\\ ... & ... & ... & ... \\ 1\times a_{n,1} & 1\times a_{n,2} & ... & 1\times a_{n,n}\\ \end{matrix} \right| $$

$$ 设det(C)=det(A)+det(B)，由性质四得：$$

$$ det(C)= \left|\begin{matrix} a_{1,1}+k\times a_{2,1}&a_{1,2}+k\times a_{2,2} & ... & a_{1,n}+k\times a_{2,n}\\ 1\times a_{2,1} & 1\times a_{2,2} & ... & 1\times a_{2,n} \\ ... & ... & ... & ... \\ 1\times a_{n,1} & 1\times a_{n,2} & ... & 1\times a_{n,n} \\ \end{matrix} \right| $$ $$ 由性质三得：det(B)=0$$

$$ 所以det(C)=det(A)+det(B)=det(A) $$

$$ 即可以用高斯消元求解行列式 $$