CF1816D 题解

一、题目描述：

　　这是一道交互题，你需要猜出一个 $1$~$n$ 的全排列 $p_1,p_2,p_3...p_n$ 。

　　有 $t$ 组数据，每组数据有一个整数 $n$ 表示数组的大小。

　　假设一开始有一个只有 $n$ 个点，没有边的图。你有 $2\times n$次询问机会，两种询问方式：

　　第一种：$+$ $x$。表示将 $1~n$ 中所有 $1\leq x-i\leq n$ 的 $i$ 与 $n-i$ 连一条边。若连接成功，则回答 $1$，否则回答 $-1$。

　　第二种：$?$ $u$ $v$。表示询问从 $u$ 到 $v$ 的最小边数。若没有路径，则回答 $-1$。

　　你有两次猜测序列的机会，只要有一个对了就算过关。请保证你输入的 $x$ 在 $1$~$2\times n$ 之间，$u，v$ 在 $1$~$n$ 之间。

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 二、解题思路：

　　乍一看这一题还真没什么思路。但是我们的目的是构造一条链，这样能简化问题，方便猜测。

　　经过多次尝试后不难发现只需要 $+$   $n$ 再 $+$   $n+1$ 就可以构成一条链。

 

　　然后我们还剩下 $2\times n-2$ 次询问机会，我们需要找出这一条链的一个端点，再根据端点的询问就可以解决这个问题。

　　怎么求端点？感觉就跟求树的直径一样，随便找一个点，距离最远的一定就是端点。这里花掉 $n-1$ 次询问机会。

　　最后再挨个询问其他各个点与端点的距离，最后输出即可。注意最后输出了答案还要读入一个 $1$ ，表示你的答案正确。

 

　　但我的代码用的是别人的思路，一开始没想出来：

　　任意挑选两个点对另外 $n-1$ 个点求距离，因为是链，任两点距离唯一，所以可以直接算出。

　　设这两个点的位置为 $x_1,x_2$ （已知），要求的点位置为 $x$ （未知）。距离分别为 $dis_1,dis_2$。给一个简单证明：

 

　　$已知：\vert x-x_1 \vert=dis_1，\vert x-x_2 \vert=dis_，x_1!=x_2$

　　$x=x_1 \pm dis_1，x=x_2 \pm dis_2$

 

　　$Situation 1:$

　　$x_1-dis_1=x_2-dis_2，x_1+dis_1=x_2+dis_2$

　　$dis_1-dis_2=x_1-x_2，dis_1-dis_2=x_2-x_1$

　　$x_1-x_2=x_2-x_1<=>x_2=x_1$

 　　$与x_1!=x_2矛盾，无解$

 

　　$Situation 2:$

　　$x_1-dis_1=x_2+dis_2，x_1+dis_1=x_2-dis_2$

　　$dis_1+dis_2=x_1-x_2，dis_1+dis_2=x_2-x_1$

　　$x_1-x_2=x_2-x_1<=>x_2=x_1$

　　$与x_1!=x_2矛盾，无解$

 

　　$综上所述，方程最多有一个解$

 

　　而这个题显然是有解的，所以有唯一解。

　　在计算的时候注意是否两个点求出的端点是同一个端点，要分类讨论。

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 三、完整代码：

#include<iostream>
#define N 1010
using namespace std;
int T,n,rans,a[N],vis[N];
int ma[3],dis[3][N],ans[N];
void add(int x)
{
    cout<<"+ "<<x<<endl;
    cin>>rans;
}
int query(int u,int v)
{
    cout<<"? "<<u<<" "<<v<<endl;
    cin>>rans;    return rans;
}
void build_array()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        vis[i]=0;
    a[1]=(n+1)/2;vis[a[1]]=1;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int t=n-a[i];
        if(vis[t])    t++;
        vis[t]=1,a[i+1]=t;
    }
}
void print(int d1,int d2)
{
    ans[1]=a[d1];ans[2]=a[d2];
    for(int i=3;i<=n;i++)
    {
        int t11=d1+dis[1][i],t12=d1-dis[1][i];
        int t21=d2+dis[2][i],t22=d2-dis[2][i];
        if(t11==t21||t11==t22)    ans[i]=a[t11];
        if(t12==t21||t12==t22)    ans[i]=a[t12];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cout<<ans[i]<<" ";
}
void solve()
{
    cin>>n;
    build_array();
    ma[1]=ma[2]=0;
    add(n);add(n+1);

    for(int i=1;i<=2;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            dis[i][j]=0;
            
    for(int i=1;i<=2;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if(i!=j)
            {
                dis[i][j]=query(i,j);
                if(dis[i][j]>dis[i][ma[i]])
                    ma[i]=j;
            }
            
    cout<<"! ";
    if(ma[1]==ma[2])
    {
        print(1+dis[1][ma[1]],1+dis[2][ma[2]]);
        print(n-dis[1][ma[1]],n-dis[2][ma[2]]);
    }
    if(ma[1]!=ma[2])
    {
        print(1+dis[1][ma[1]],n-dis[2][ma[2]]);
        print(n-dis[1][ma[1]],1+dis[2][ma[2]]);
    }
    cout<<endl;cin>>rans;
}
int main()
{
    cin>>T;
    for(int i=1;i<=T;i++)
        solve();
    return 0;
}

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 四、写题心得：

　　$Codeforces$ 的题真的蛮有意思的，其实没考什么算法，但是很有趣！加油！拜拜！