CF1810E 题解

一、题目描述：

　　给你一个 $n$ 个点，$m$ 条边的无向图，点带权，起点可任意选择。

　　每走过一个新的点，你的能力值会 $+1$ 。一开始你的能力值为 $0$ 。

　　你只能经过点权小于等于你能力值的点。每条边，每个点都可以经过无限次，问能否走遍整个图。

　　如果可以，输出 $YES$ 。否则输出 $NO$ 。有 $t$ 组数据，保证 $\sum n\leq 2e5，\sum m\leq 2e5，t\leq 1e3 $。 

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 二、做题思路：

　　很明显，你只能选择点权为 $0$ 的点作为起点。枚举每个点权为 $0$ 的点，跑一遍 $dij$ ，时间复杂度 $O(n*nlogm)$，显然超时。

　　考虑优化，之前已经访问过的点再用作起点肯定不优（这里不做解释）。用一个 $vis$ 数组标一下。

　　每次 $dij$ 不能 $O(n)$ 的初始化，判定一个点 u 这一轮是否访问过的时候可以判 $if(vis[u]==s)$，其中 $s$ 为起点。

　　现在时间复杂度已经是 $O(nlogm)$ 了。复杂度不好直接说明，放个图：

　　　　　　　　

　　假设一开始枚举的点是中间那个 $0$ ，一共可以拓展到 $4$ 个点 (红点) 。周围被点权较大的点所包围，无法再拓展。

　　如果重复拓展到这几个点，那么一定是经过了点权较大的点，此时经过的点 (蓝点) 一定大于 $4$ 个 ，才能通过点权较大的点。

　　由此可以发现，总拓展点数最大为 $n+n/2+n/4+n/8+...+1$，小于等于 $2\times n$ 。时间复杂度最差 $O(2nlogm)$，可以通过。注意各个变量的初始化。

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三、完整代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<queue>
#define N 200010
using namespace std;
int T,n,m,u1,v1,now,c[N],vis[N];
struct EDGE{
    int v,nxt;
}edge[N*2];
int head[N],cnt;
void add(int u,int v)
{
    edge[++cnt].v=v;
    edge[cnt].nxt=head[u];
    head[u]=cnt;
}
struct node{
    int pos,dis;
    bool operator < (const node &t)const{
        return t.dis<dis;
    }
};
priority_queue <node> q;
int dij(int s)
{
    while(!q.empty())
        q.pop();q.push({s,0});now=0;
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.top().pos;q.pop();
        if(vis[u]==s)    continue;vis[u]=s;
        if(now<c[u])    return 0;    now++;
        for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].nxt)
            q.push({edge[i].v,c[edge[i].v]});
    }
    return now==n;
}
void solve()
{
    cin>>n>>m;cnt=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>c[i];
        head[i]=-1,vis[i]=0;
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>u1>>v1;
        add(u1,v1),add(v1,u1);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!c[i]&&!vis[i]&&dij(i))
        {
            cout<<"YES"<<'\n';
            return ;
        }
    cout<<"NO"<<'\n';
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    cin>>T;
    for(int i=1;i<=T;i++)
        solve();
    return 0;
}

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四、写题心得：

　　这个题写起来不难，就是时间复杂度难以证明。不过自己花了这么多时间证出来了（头一次配了图 ! ），也是真的很高兴。拜拜！