上指标求和&二项式反演推导证明

一、上指标求和

　　虽然很简单，但还是写一下吧，加深印象。

　　要证明的是 $\sum_{i=0}^n{i \choose k}={n+1\choose k+1}$

　　$OI\ Wiki$ 给出了提示，往 $n+1$ 个元素中选 $k+1$ 的子集方面想。

　　枚举第 $k+1$ 个元素是在第 $i$ 个位置被选中的。

　　${n+1\choose k+1}=\sum_{i=1}^{n+1} { i-1\choose k}=\sum_{i=0}^{n} { i\choose k}$

　　命题得证。$Easy!$

二、二项式反演

　　记 $f_n$ 表示恰好使用 $n$ 个不同元素形成特定结构的方案数，$g_n$ 表示从 $n$ 个不同元素中选出 $i\ge 0$ 个元素形成特定结构，其余 $n-i$ 个元素不管的总方案数。

　　那么显然有 $g_n=\sum_{i=0}^n{n \choose i} f_n$

　　若已知 $g_i$ 求 $f_i$，那么有 $f_n\sum_{i=0}^n{n\choose i}(-1)^{n-i}\times g_i$

　　上述已知 $g_n$ 求 $f_n$ 的过程，就称为 二项式反演。

　　证明：直接将 $g_i\sum_{i=0}^n{n \choose i} f_i$ 带入式子。

　　$f_n=\sum_{i=0}^n{n\choose i}(-1)^{n-i}\times\sum_{j=0}^i{i \choose j} f_j$

　　$=\sum_{j=0}^n\sum_{i=j}^n{n\choose i}{i \choose j} (-1)^{n-i}f_j$

　　$=\sum_{j=0}^n\sum_{i=j}^n{n\choose j}{n-j \choose i-j}(-1)^{n-i}f_j$

　　$=\sum_{j=0}^n{n\choose j}f_j\sum_{i=j}^n{n-j \choose i-j}(-1)^{n-i}$

　　$=\sum_{j=0}^n{n\choose j}f_j\sum_{i=0}^{n-j}{n-j \choose i}(-1)^{n-j-i}$

　　下一步要记一下，遇到求 $\sum_{i=0}^n {n \choose i}a^i$的形式考虑使用二项式定理。

　　令 $k=n-j$，原式$=\sum_{j=0}^n{n\choose j}f_j\sum_{i=0}^{k}{k \choose i}(-1)^{k-i}1^k$

　　根据二项式定理 $(a+b)^n=\sum_{i=0}^n{n\choose i}a^ib^{n-i}$

　　取 $a=1,b=-1$，得 $0^n=\sum_{i=0}^n{n\choose i}1^i(-1)^{n-i}=[n=0]$

　　原式$=\sum_{j=0}^n{n\choose j}f_j[n=j]=f_n$ 命题得证！

三、二项式反演的拓展

　　记 $f_n$ 表示恰好使用 $n$ 个不同元素形成特定结构的方案数，$g_n$ 钦定选出 $n$ 个不同元素，其他元素不管的形成特定结构的总方案数。

　　计 $k$ 为元素总数，那么显然有 $g_n=\sum_{i=n}^k{i \choose n} f_i$

　　若已知 $g_n$ 求 $f_n$，那么有 $f_n=\sum_{i=n}^k{i\choose n}(-1)^{i-n}\times g_i$

　　上述已知 $g_n$ 求 $f_n$ 的过程，同样称为称为 二项式反演。

　　证明：直接将 $g_n=\sum_{i=n}^k{i \choose n}f_i$ 带入式子。

　　$f_n=\sum_{i=n}^k{i\choose n}(-1)^{i-n}\times \sum_{j=i}^k{j \choose i}f_j$

　　$=\sum_{j=n}^k\sum_{i=n}^j{i\choose n}{j \choose i} (-1)^{i-n}f_j$

　　$=\sum_{j=n}^k\sum_{i=n}^j{j\choose n}{j-n \choose i-n}(-1)^{i-n}f_j$

　　$=\sum_{j=n}^k{j\choose n}f_j\sum_{i=n}^j{j-n \choose i-n}(-1)^{i-n}$

　　$=\sum_{j=n}^k{j\choose n}f_j\sum_{i=0}^{j-n}{j-n \choose i}(-1)^{i}$

　　令 $k=j-n$，原式$=\sum_{j=n}^k{j\choose n}f_j\sum_{i=0}^{k}{k \choose i}(-1)^{i}1^{k-i}$

　　根据二项式定理 $(a+b)^n=\sum_{i=0}^n{n\choose i}a^ib^{n-i}$

　　取 $a=-1,b=1$，得 $0^n=\sum_{i=0}^n{n\choose i}1^i(-1)^{n-i}=[n=0]$

　　原式$=\sum_{j=n}^k{j\choose n}f_j[n=j]=f_n$ 命题得证！

　　大概是还有一些其他的类似形式，我懒得推了。