[每日算法 - 华为机试] 剑指 Offer 10- II. 青蛙跳台阶问题

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力扣https://leetcode.cn/problems/qing-wa-tiao-tai-jie-wen-ti-lcof/

题目描述

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：

        输入：n = 2
        输出：2
示例 2：

        输入：n = 7
        输出：21
示例 3：

        输入：n = 0
        输出：1
提示：

        0 <= n <= 100

斐波那契数列 

青蛙跳台阶问题是一种经典的动态规划问题，可以通过类比斐波那契数列来求解。问题的关键在于理解青蛙跳跃的可能路径：

• 第1级台阶：只有 1 种方法，即青蛙直接跳1级到达目标。

• 第2级台阶：有 2 种方法：

  1. 跳1级，然后再跳1级：青蛙可以选择先跳到第1级台阶，然后再跳1级到第2级。
  2. 直接跳2级：青蛙可以选择直接从地面跳到第2级。

• 第n级台阶（n > 2）：对于任意第n级台阶，青蛙有两种可能的最后一步：

  1. 从第(n-1)级台阶跳1级：青蛙可以先跳到第(n-1)级台阶，然后再跳1级到达第n级。
  2. 从第(n-2)级台阶跳2级：青蛙可以先跳到第(n-2)级台阶，然后直接跳2级到达第n级。

这个思路的核心在于，每个台阶的到达方法数是基于前两个台阶的方法数之和，因为青蛙可以选择跳1级或者2级。

递推公式：F(n) = F(n-1) + F(n-2)

方法一：递归

 Java示例

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if(n==1 || n==2){
            return n;
        }
        return climbStairs(n-1) + climbStairs(n-2);
    }
}

时间复杂度：O(2^n)

空间复杂度：O(n)

方法二：记忆递归

方法一缺点： 多了很多重复计算(如红框圈出来的地方)，记忆递归的讲每次计算结果存储，不再重复计算。

方法一复杂度分析

 Java示例

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        int memo[] = new int[n+1];//存储计算结果
        return climb(memo,n);
    }
    public int climb(int[] memo,int n){
        if(n==1 || n==2){
            memo[n] = n;
        }
        if(memo[n] == 0){
            memo[n] = climb(memo,n-1) + climb(memo,n-2);
        }
        return memo[n];
    }
}

时间复杂度：O(n)

空间复杂度：O(n)

方法三：动态规划

Java示例

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if(n==1 || n==2){
           return n;
        }
        int dp[] = new int[n+1];
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for(int i=3;i<=n;i++){
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
        }
        return dp[n-1] + dp[n-2];
    }
}

时间复杂度：O(n)

空间复杂度：O(n)

方法四：斐波那契数列

在方法一的dp数组中只有两个元素被使用，现在将浪费的空间优化掉，将空间复杂度降为O(1)

Java示例

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if(n==1 || n==2){
           return n;
        }
        int first=1;
        int second = 2;
        for(int i=3;i<n;i++){
           int third = first + second;
           first = second;
           second = third;
        }
        return first + second;
    }
}

时间复杂度：O(n)

空间复杂度：O(1)