坐标dp

坐标dp

坐标型dp一般都是给定网格、序列，来求满足某种性质的最大值、最小值。f[i][j]代表以i、j结尾的满足条件的某种情况。

典型例题：传纸条

题目描述
小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个m行n列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用0表示），可以用一个0-100的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度只和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入格式

输入文件message.in的第一行有2个用空格隔开的整数m和n，表示班里有m行n列（1<=m,n<=50）。 接下来的m行是一个m*n的矩阵，矩阵中第i行j列的整数表示坐在第i行j列的学生的好心程度。每行的n个整数之间用空格隔开。

输出格式

输出文件message.out共一行，包含一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

样例

样例输入
3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0
样例输出
34

分析：由于小渊和小轩的路径可逆，因此尽管出发点不同，都可以看作是从（1，1）到（m，n)。
最简单的思路是四维表示状态，两个纸条同时从（1，1）出发传递。
方程： d[i][j][ii][jj]=max{d[i-1][j][ii-1][jj],d[i-1][j][ii][jj-1],d[i][j-1][ii-1][jj],d[i][j-1][ii][jj-1]}+tmp;

优化：两个一块传，可以知道两者的总步数是相等的，i+j=ii+jj根据这个结论可以减少一维的枚举。

另一种方法：三维表示状态。D[i][j][k]表示两者都走了i步且横坐标分别为jk。
方程：f[k][i][j]=max(max(f[k-1][i][j], f[k-1][i-1][j-1]),max(f[k-1][i-1][j], f[k-1][i][j-1]))+ h[i][k-i] + h[j][k-j];

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int m,n,ans;
int h[110][110],f[110][110][110];
int main(){
	scanf("%d%d",&m,&n);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			cin>>h[i][j];
		}
	}
	for(int k=1;k<=m+n-1;k++){
		for(int i=1;i<=k;i++){
			for(int j=0;j<=k;j++){
				if(i==j){
					continue;
				}
				f[k][i][j]=max(max(f[k-1][i][j], f[k-1][i-1][j-1]),max(f[k-1][i-1][j], f[k-1][i][j-1]))+ h[i][k-i] + h[j][k-j]; 
			    ans=max(ans,f[k][i][j]); 
			}
		}
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}