最小生成树略解

最小生成树

一个有 $n$ 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 $n$ 个结点，并且有保持图连通的最少的边。最小生成树是最小权重生成树的简称。

$\text{Kruskal}$ 算法

使用 $\text{Kruskal}$ 算法求出一无向图 $G$ 的最小生成树步骤如下：

1. 将边按照权升序排序；
2. 从第 $1$ 条边开始，判断两端点是否联通；若不联通，则标记该边；
3. 重复 2. 操作，直到有 $n-1$ 条标记的边。（$n$ 是点数）标记的边组成的集合就是 $G$ 的最小生成树。

对于操作 2. 中斜体部分，使用并查集判断两点的连通性。
时间复杂度：$O(m\log m+m\alpha(n))$，$n$ 是点数，$m$ 是边数，$\alpha(n)$ 是一次并查集的复杂度。

$\text{Prim}$ 算法

使用 $\text{Prim}$ 算法求出一无向图 $G$ 的最小生成树步骤如下：

1. 任意标记一点，将它加入 $V_2$ 集合，异于它的点加入 $V_1$ 集合；
2. 找出与 $V_2$ 中一点的距离最短的、属于 $V_1$ 的点；标记连接该点 $u$ 和 $V_2$ 中与该点距离最短的点 $v$ 的 $(u,v)$，将 $v$ 移出 $V_1$ 并加入 $V_2$；
3. 重复 2. 操作，直到 $V_1$ 变为空集。标记的边组成的集合就是 $G$ 的最小生成树。

对于操作 2. 中的斜体部分，使用堆优化。
时间复杂度：$O((n+m)\log m)$，$n$ 是点数，$m$ 是边数。

题目描述 $\text{luoguP3366}$

如题，给出一个无向图，求出最小生成树，如果该图不连通，则输出 orz。

$\text{Solution 3366}$

模板，无须赘述。贴上 Kruskal 算法的代码。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>

#define reg register

struct node{
	int x,y,d;
}e[400010];
int len=0;
int n,m;
int s1,s2,s3;
int f[5010];

void ins(int x,int y,int d){
	e[++len].x=x;e[len].y=y;e[len].d=d;
}
int cmp(node a,node b){
	return a.d<b.d;
}
int findfa(int x){
	if(f[x]==x) return x;
	return f[x]=findfa(f[x]);
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(reg int i=1;i<=m;++i){
		scanf("%d%d%d",&s1,&s2,&s3);
		ins(s1,s2,s3);ins(s2,s1,s3);
	}
	std::sort(e+1,e+len+1,cmp);
	for(reg int i=1;i<=n;++i)
		f[i]=i;
	int cnt=0,ans=0;
	for(reg int i=1;i<=len;++i){
		int x=e[i].x,y=e[i].y;
		int fx=findfa(x),fy=findfa(y);
		if(fx!=fy){
			f[fx]=fy;	//注意不是 f[x]=fy
			++cnt;ans+=e[i].d;
			if(cnt==n-1) break;
		}
	}
	printf("%d",ans);
}

题目描述 $\text{loj10065}$

原题来自：Waterloo University 2002

北极的某区域共有 $n$ 座村庄，每座村庄的坐标用一对整数 $(x,y)$ 表示。为了加强联系，决定在村庄之间建立通讯网络。通讯工具可以是无线电收发机，也可以是卫星设备。所有的村庄都可以拥有一部无线电收发机， 且所有的无线电收发机型号相同。但卫星设备数量有限，只能给一部分村庄配备卫星设备。

不同型号的无线电收发机有一个不同的参数 $d$，两座村庄之间的距离如果不超过 $d$ 就可以用该型号的无线电收发机直接通讯，$d$ 值越大的型号价格越贵。拥有卫星设备的两座村庄无论相距多远都可以直接通讯。

现在有 $k$ 台卫星设备，请你编一个程序，计算出应该如何分配这 $k$ 台卫星设备，才能使所拥有的无线电收发机的 $d$ 值最小，并保证每两座村庄之间都可以直接或间接地通讯。

输入格式

第一行为由空格隔开的两个整数 $n,k$;
第 $2$ 到 $n+1$ 行，每行两个整数，第 $i$ 行的 $x_i,y_i$ 表示第 $i$ 座村庄的坐标 $(x_i,y_i)$。

输出格式

一个实数，表示最小的 $d$ 值，结果保留 $2$ 位小数。

样例输入

3 2
10 10
10 0
30 0

样例输出

10.00

数据范围与提示

对于全部数据，$1\leq n\leq 500,0\leq x,y\leq 10^4,0\leq k\leq 100$。

$\text{Solution 10065}$

显然，应尽量把卫星电话给距离最远的村庄使用。
反向考虑问题。找出 $n-k$ 个点，使它们联通的代价最小。剩下的 $k$ 个点获得卫星电话。那么，最小的 $d$ 值就是联通这 $n-k$ 个点的边权最大边的权。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>

#define reg register

struct node{
	int x,y,next;
	double d;
}e[126000];
int len=0;
int first[510];
int n,k;
double xx[510],yy[510];
int sum=0;
int f[510];

double getd(double a,double b,double c,double d){
	return sqrt((a-b)*(a-b)+(c-d)*(c-d));
}
void ins(int x,int y){
	e[++len].x=x;e[len].y=y;e[len].d=getd(xx[x],xx[y],yy[x],yy[y]);
	e[len].next=first[x];first[x]=len;
}
int cmp(node a,node b){
	return a.d-b.d<0.000000001;	//这样操作更加优秀
}
int findfa(int x){
	if(f[x]==x) return x;
	return f[x]=findfa(f[x]);
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&k);
	if(k>=n){
		puts("0.00");
		exit(0);
	}
	for(reg int i=1;i<=n;++i){
		f[i]=i;
		scanf("%lf%lf",&xx[i],&yy[i]);
		for(reg int j=1;j<i;++j)
			ins(i,j);
	}
	std::sort(e+1,e+len+1,cmp);
	for(reg int i=1;i<=len;++i){
		int x=e[i].x,y=e[i].y,fx=findfa(x),fy=findfa(y);
		if(fx!=fy){
			++sum;
			f[fy]=fx;
			if(sum==n-k){
				printf("%.2lf",e[i].d);
				exit(0);
			}
		}
	}
}