区间动态规划略解

动态规划

动态规划 (dynamic programming) 是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的数学方法。
动态规划一般可分为线性动规，区域（区间）动规，树形动规，背包动规四类。
求解区间动态规划问题基本步骤：

1. 设计状态；
2. 建立状态转移方程；
3. 优化方程及后续操作。

题目描述 $\text{loj10147}$

将 $n$ 堆石子绕圆形操场排放，现要将石子有序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的两堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数记做该次合并的得分。

请编写一个程序，读入堆数 $n$ 及每堆的石子数，并进行如下计算：

选择一种合并石子的方案，使得做 $n-1$ 次合并得分总和最大。
选择一种合并石子的方案，使得做 $n-1$ 次合并得分总和最小。

输入格式

输入第一行一个整数 $n$，表示有 $n$ 堆石子。

第二行 $n$ 个整数，表示每堆石子的数量。

输出格式

输出共两行：
第一行为合并得分总和最小值，
第二行为合并得分总和最大值。

样例输入

4
4 5 9 4

样例输出

43
54

数据范围与提示

对于 $100\%$ 的数据，有 $1\leq n\leq200$。

$\text{Solution 10147}$

环形的数不好处理，将它拉直并复制一份放在末尾。比如

这样处理后，每次从新序列里取出长度为 $n$ 的子串，都是原合法方案。

设 $s[i][j]$ 表示在新序列中，$[i,j]$ 中石子数之和。则 $s$ 可以用前缀和求出。

设 $f[i][j]$ 表示在新序列中，合并子串 $[i,j]$ 的最大得分。
对于 $\forall k\in(i,j)$，可以把 $[i,k]$ 并做一堆， $[k+1,j]$ 并做一堆，再把这两堆合并。而将这两堆合并产生的贡献为 $s[i][j]$，
$\therefore f[i][j]=\max(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+s[i][j])$。

对于 $\forall i\in[1,n]$，$f[i][i+n]$ 都是合法的方案，所以答案即为 $\forall i$ 有 $f_{\max}[i][i+n]$。求最小值同理，此略。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>

#define reg register

int n,s[210];
int sum[410];
int f[410][410],g[410][410];
int ans1=-1,ans2=0x3f3f3f3f;

inline int max(int a,int b){
	if(a>b) return a;
	return b;
}
inline int min(int a,int b){
	if(a<b) return a;
	return b;
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(reg int i=1;i<=n;++i){
		scanf("%d",&s[i]);
		sum[i]=sum[i-1]+s[i];
	}
	for(reg int i=n+1;i<=n+n;++i)
		sum[i]=sum[i-1]+s[i-n];
	for(reg int i=n+n;i>=1;--i)
		for(reg int j=i+1;j-i<n;++j){
			g[i][j]=0x3f3f3f3f;
			for(reg int k=i;k<j;++k){
				f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]);
				g[i][j]=min(g[i][j],g[i][k]+g[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]);
			}
		}
	for(reg int i=1;i<=n;++i){
		ans1=max(ans1,f[i][i+n-1]);
		ans2=min(ans2,g[i][i+n-1]);
	}
	printf("%d\n%d",ans2,ans1);
}

题目描述 $\text{loj10148}$

原题来自：NOIP 2006

在 Mars 星球上，每个 Mars 人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有 $n$ 颗能量珠。能量珠是一颗有头标记和尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记必定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘——Mars 人吸收能量的器官的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可被吸盘吸收的能量。如果一颗能量珠头标记为 $m$，尾标记为 $r$，后一颗能量珠头标记为 $r$，尾标记为 $n$，则聚合后释放出 $m\times r\times n$ Mars单位的能量，新珠子头标记为 $m$，尾标记为 $n$。

当需要时，Mars 人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不一样的。请设计一个聚合顺序使得一串珠子聚合后释放出的总能量最大。

现在给你一串项链，项链上有 $n$ 颗珠子，相邻两颗珠子可以合并成一个，合并同时会放出一定的能量，不同珠子合并放出能量不相同，请问按怎样的次序合并才能使得释放的能量最多？

输入格式

第一行一个正整数 $n$。

第二行 $n$ 个不超过 $2.1\times10^9$ 的正整数，第 $i$ 个数 $a_i$ 为第 $i$ 颗珠子的头标记，当 $i\neq n$ 时第 $i$ 颗珠子的尾标记等于第 $i+1$ 颗珠子的头标记，当 $i=n$ 时第 $i$ 颗珠子的尾标记等于第 $1$ 颗珠子的头标记。

至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放在桌面上，不要出现交叉，随机指定一颗珠子为第一颗珠子，按顺时针确定其它珠子的顺序。

输出格式

输出只有一行，一个不超过 $2.1\times10^9$ 的正整数，表示最优聚合顺序所释放的能量。

样例输入

4
2 3 5 10

样例输出

710

数据范围与提示

对于 $100\%$ 的数据，$4\leq n\leq100$。

$\text{Solution 10148}$

与上题类似。
设 $f[i][j]$ 表示在新序列中，合并子串 $[i,j]$ 的最大得分。
对于 $\forall k\in(i,j)$，可以把 $[i,k]$ 并做一堆， $[k+1,j]$ 并做一堆，再把这两堆合并。而将这两堆合并产生的贡献为 $a_i\times a_{j+1}\times a_{k+1}$，
$\therefore f[i][j]=\max(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+a_i\times a_{j+1}\times a_{k+1})$。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>

#define reg register

int n,s[210];
int sum[410];
int f[410][410];
int ans=0;

inline int max(int a,int b){
	if(a>b) return a;
	return b;
}
inline int min(int a,int b){
	if(a<b) return a;
	return b;
}
int main(){
	scanf("%d",&n);sum[0]=1;
	for(reg int i=1;i<=n;++i){
		scanf("%d",&s[i]);
		s[i+n]=s[i];
	}
	for(reg int i=n+n;i>=1;--i)
		for(reg int j=i+1;j-i<n;++j)
			for(reg int k=i;k<j;++k)
				f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+s[i]*s[j+1]*s[k+1]);
	for(reg int i=1;i<=n;++i)
		ans=max(ans,f[i][i+n-1]);
	printf("%d",ans);
}

附上题表。

序号	标题	题解
$1$	luogu P1441 砝码称重	已完成
$2$	luogu P1156 垃圾陷阱	已完成
$3$	P2279 [HNOI2003]消防局的设立	$\text{Finished}$

（坑，见luogu的tg试炼场）