凯利公式及其证明

凯利公式 设一双人游戏非赢即败，且你赢的概率为 $p$，输的概率为 $q\ (q=1-p)$，净赔率为 $b$。则下次投入游戏的最优的资产比为$f=\frac{pb-q}b$
当 $f\leq0$ 时，该游戏不值得参与。


证明： 设进行 $n$ 次游戏，第 $n$ 次游戏后拥有的资产为 $C_n$。

(1) 当第 $n$ 次游戏获胜时，$C_n=C_{n-1}\times(1+bf)$
(2) 当第 $n$ 次游戏失败时，$C_n=C_{n-1}\times(1-f)$

设共赢了 $W$ 把，输了 $L$ 把（$W+L=n$），则$C_n=C_0\times(1+bf)^W·(1-f)^L$
两边取 $\log$ 底数，得
$\log(\frac{C_n}{C_0})^\frac1n=\frac Wn\log(1+bf)+\frac Ln\log(1-f)$

当 $n\rightarrow∞$ 时，$\frac Wn=p$，$\frac Ln=q=1-p$，
$\lim_{n\rightarrow∞}\log(\frac{C_n}{C_0})^\frac 1n=p·\log(1+bf)+(1-p)·\log(1-f)$

根据高等数学知识，如果一个函数的一阶导数为 $0$，二阶导数小于 $0$，则这个函数有最大值。经推导，函数$y=p·\log(1+bf)+(1-p)·\log(1-f)$有最大值。它的一阶导数为 $y'=\frac{pb}{1+bf}-\frac{1-p}{1-f}$令它为 $0$ 得 $f=\frac{pb-q}{b}$证毕。