[NOIp2018] luogu P5020 货币系统

还在补暑假作业。

题目描述

你有一个由 $N$ 种面值的货币组成的货币系统。定义两个货币系统等价，当且仅当 $\forall x\in\N^*$ 要么同时能被两个货币系统表示，要么同时不能被表示。尝试从 $N$ 种面值中删除尽量多种，使得删除后得到的新系统与原系统等价。求新系统的面值种数。

Solution

一种很显然的想法是，比如 $\{2,3,5\}$，因为 $2+3=5$，所以每次我想用 $5$ 的时候我都可以用 $2+3$ 代替，所以 $5$ 是废的。换句话说，如果一个数可以表示成其他若干个数的和，那么这个数应该被删除。

考虑用深度优先搜索实现这一步骤，可以得到 80 分。时间复杂度 $O(Tn^n)$。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>

const int MAXN=110;
const int MAxm=25010;

int T,n;
int a[MAXN+10];

int dfs(int x,int y){
	if(x<0) return 0;
	if(!x) return 1;
	int c=0;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		if(!c&&y!=i) c=dfs(x-a[i],y);
		if(c) break;
	}
	return c;
}
int main(){
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%d",&n);
		for(int i=1;i<=n;++i)
			scanf("%d",&a[i]);
		int ans=n;
		for(int i=1;i<=n;++i)
			ans-=dfs(a[i],i);
		printf("%d\n",ans);
	}
}

设 $f[i]$ 表示 $i$ 这个面值是否可以被表示出来。显然，瓶颈就是求解 $f$ 数组。

考虑使用动态规划优化此过程。先将 $a$ 数组排序，然后 $\forall a[i]$ 有 $f[j]=f[j]\text{ or }f[i-a[j]]$
这样就可通过此题。设 $\max a=M=25\ 000$，则时间复杂度为 $O(TM^2)$。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>

const int MAXN=110;
const int MAXM=25010;

int T,n;
int a[MAXN+10];
int f[MAXM+10];

int dfs(int x,int y){
	if(x<0) return 0;
	if(!x) return 1;
	int c=0;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		if(!c&&y!=i) c=dfs(x-a[i],y);
		if(c) break;
	}
	return c;
}
int main(){
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%d",&n);
		for(int i=1;i<=n;++i)
			scanf("%d",&a[i]);
		std::sort(a+1,a+n+1);
		memset(f,0,sizeof(f));f[0]=1;
		int ans=n;
		for(int i=1;i<=n;++i){
			if(f[a[i]]){
				--ans;
				continue;
			}
			for(int j=a[i];j<=a[n];++j)
				f[j]=f[j]||f[j-a[i]];
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
}