三角形中的等量关系 一些等式
三角形中的等量关系，当然写不完，不定期更新
放弃更新，看这些帖子：
triangle inequality 2
Useful Identities and Inequalities in Geometry Thread
记号说明
常见的不再介绍
\(h_a,h_b,h_c\)为高
\(l_a,l_b,l_c\)为中线长
\(t_a,t_b,t_c\)为内角平分线长
\(r_a,r_b,r_c\)为旁切圆半径
等量关系
推广的正弦定理
\[2R=\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=\frac{\frac{a^2-b^2}{c}}{\sin(A-B)}=\cdots
\]
来自《常用不等式》
\[S=pr
\]
\[\prod\limits_{c y c} a=4SR=4prR
\]
\[h_a=\frac{2S}{a}
\]
\[t_a=\sqrt{bc[1-\frac{a^2}{(b+c)^2}]}
\]
\[l_a=\sqrt{\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}}
\]
\[\sum\limits_{c y c} ab=p^2+4Rr+r^2
\]
\[\sum\limits_{c y c} a^2=2(p^2-4Rr-r^2)
\]
\[\sum\limits_{c y c} a^3=2p(p^2-6Rr-3r^2)
\]
下面这个不确定对不对。。。
\[\sum\limits_{c y c} a^4=2\left(p^4-6 r^2 p^2-8 p^2 R r+8 R r^3+16 R^2 r^2+r^4\right)
\]
来自《奥赛经典》
没读过，有时间补上
来自知乎
涉及三角函数
https://zhuanlan.zhihu.com/p/28504629 第一次看到的时候还是高中。。。
https://zhuanlan.zhihu.com/p/112809153
正弦
\[\sin A+\sin B+\sin C=4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}
\]
\[\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C=2+2\cos A\cos B \cos C
\]
\[\color{black}{\sin^2\frac{A}{2}+\sin^2\frac{B}{2}+\sin^2\frac{C}{2}=1-2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}}
\]
\[\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C=4\sin A\sin B\sin C
\]
余弦
\[\cos A+\cos B+\cos C=1+4\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}
\]
\[\color{black}{\cos^2 A+\cos^2 B+\cos^2 C=1-2\cos A\cos B\cos C}
\]
\[\cos^2\frac{A}{2}+\cos^2\frac{B}{2}+\cos^2\frac{C}{2}=2+2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}
\]
\[\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C=-1-4\cos A\cos B\cos C
\]
正切余切
\[\color{black}{\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B \tan C}
\]
\[\color{black}{\cot\frac{A}{2}+\cot\frac{B}{2}+\cot\frac{C}{2}=\cot\frac{A}{2}\cot\frac{B}{2}\cot\frac{C}{2}}
\]
\[\color{black}{\tan(\frac{A}{2})\cdot \tan(\frac{B}{2}) +
\tan(\frac{B}{2})\cdot \tan(\frac{C}{2}) +
\tan(\frac{C}{2})\cdot \tan(\frac{A}{2})
=1} \\ \text{ i.e. } (1-\frac{2c}{a+b+c})+(1-\frac{2a}{a+b+c})+(1-\frac{2b}{a+b+c})=1
\]
