将整数表示为平方和的相关链接收集

https://mathworld.wolfram.com/SumofSquaresFunction.html Sum of Squares Function

https://en.wikipedia.org/wiki/Gauss_circle_problem 维基百科Gauss circle problem

https://www.ams.org/journals/mcom/1962-16-079/S0025-5718-1962-0155788-9/S0025-5718-1962-0155788-9.pdf Calculation of the Number of Lattice Points in the Circle and Sphere

https://reference.wolfram.com/language/ref/SquaresR.html Mathematica SquaresR 用法

(https://oeis.org/A319574) 将k写成n个平方的总和形式的方式数

 

Let \(r_{2k}(n)\) be the number of different representations of \(n\) as a sum of \(2k\) squares, \(k=1,2,\ldots\).

把\(n\)写成两个平方和的方法的数目\(r_2(n)\)，等于

\[r_2(n)=4(D_+-D_-), \quad n\geq 1 \]

其中，\(D_+\)是形如\(4k+1\)的\(n\)的因子数目，\(D_-\)是形如\(4k-1\)的\(n\)的因子数目

举例，25的因子是\(1,5,25\)，\(D_+=3\)，\(D_-=0\)，\(4(D_+-D_-)=12\)

而\(0^2+5^2,3^2+4^2\)进行各项重新排序，变变正负号，得到12种。

把\(n\)写成四个平方和的方法的数目\(r_4(n)\)，等于

\[r_4(n)=8\sum\limits_{d\%4!=0\ ,d|n}d , \quad n\geq 1 \]

举例，12的因子是\(1,2,3,4,6,12\)，

\[r_4(12)=(1+2+3+6)\times8=96 \]

其中的不同方法数就是由\(1^2+1^2+1^2+3^2\)，\(0^2+2^2+2^2+2^2\)以不同的方法对各项重排次序，或把正整数变负整数得到的各个平方和，共96种

Basic Hypergeometric Series这本书的8.11节也给出了关于\(r_4(n)\)的公式的使用q-hypergeometric Series的证明。

此外，这本书还给出把\(n\)写成两个平方和的方法的数目\(r_8(n)\)，等于

\[r_8(n) = 16(-1)^n \sum\limits_{d|n} (-1)^d d^3 ,\quad n\geq 1 \]