【公式编辑测试】复数与向量的应用——罗列一些公式
upd 2021-12-28 放弃更新，都去看这个pdf吧
快问快答环节
凸包面积
\[\frac{1}{2} \operatorname{Re} \sum_{j=1}^{n} \zeta_j \cdot \overline{\zeta_{j+1}}
\]
其中\(\zeta_{1}, \zeta_{2}, \ldots, \zeta_{n}, \zeta_{n+1}=\zeta_{1}\)
\(\zeta_{j},\quad 1\leq j\leq n\)是凸包的\(n\)个顶点
三点构成等边三角形
复平面上逆时针顺序的三个点 \(z_{1}, z_{2}, z_{3}\) 构成等边三角形的充要条件是， \(z_{1}+z_{2} \omega+z_{3} \omega^{2}=0\). 其中 \(\omega=(-1+\sqrt{3} i) / 2=e^{\frac{2 i \pi }{3}}\) 是单位根。
距离公式
\[\begin{aligned}
|Z_1Z_2|&=|z_1-z_2|^2\\
&=(z_1-z_2)(z_1-z_2)^{*}\\
&=(z_1-z_2)(\bar{z_1}-\bar{z_2})\\
&=|z_1|^2+|z_2|^2-(z_1\bar{z_2}+\bar{z_1}z_2)\\
&=z_1\bar{z_1}+z_2\bar{z_2}-(z_1\bar{z_2}+\bar{z_1}z_2)
\end{aligned}
\]
四点共圆公式
\[\begin{vmatrix}
1 & a &\bar{a} &a\bar{a} \\
1 & b &\bar{b} &b\bar{b} \\
1 & c &\bar{c} &c\bar{c} \\
1 & d &\bar{d} &d\bar{d} \\
\end{vmatrix}=0
\]
是复平面上的复数\(a,b,c,d\)代表的四点共圆的充要条件
证明：托勒密公式，把距离公式变形一下，最后整理一下
三角形外接圆公式
\[\begin{vmatrix}
1 & z_1 &\bar{z_1} &z_1\bar{z_1} \\
1 & z_2 &\bar{z_2} &z_2\bar{z_2} \\
1 & z_3 &\bar{z_3} &z_3\bar{z_3} \\
1 & z &\bar{z} &z\bar{z} \\
\end{vmatrix}=0
\]
三角形面积公式（有向面积）
\[S_{\Delta ABC}=
\frac{i}{4}
\begin{vmatrix}
1 & z_1 & \bar{z_1} \\
1 & z_2 & \bar{z_2} \\
1 & z_3 & \bar{z_3}
\end{vmatrix}
\]
证明：抄课本里的，
\[\begin{aligned} S_{\Delta ABC} &=\frac{1}{2}Z_1Z_2\cdot Z_1Z_3\cdot \sin\angle Z_2Z_1Z_3\\ &=\frac{1}{2}|z_1-z_2|\cdot |z_2-z_3|\cdot \operatorname{Im}\frac{z_3-z_1}{z_2-z_1}\cdot |\frac{z_2-z_1}{z_3-z_1}| \\ &=\frac{1}{2} \operatorname{Im}(\bar{z_1}z_2+\bar{z_2}z_3+\bar{z_3}z_1)\\ &=\frac{i}{4} \begin{vmatrix} 1 & z_1 & \bar{z_1} \\ 1 & z_2 & \bar{z_2} \\ 1 & z_3 & \bar{z_3} \end{vmatrix} \end{aligned} \]
三点共线
\[\begin{vmatrix}
1 & z_1 & \bar{z_1} \\
1 & z_2 & \bar{z_2} \\
1 & z_3 & \bar{z_3}
\end{vmatrix}=0
\]
过两点的直线公式
\[\begin{vmatrix}
1 & z_1 & \bar{z_1} \\
1 & z_2 & \bar{z_2} \\
1 & z & \bar{z}
\end{vmatrix}=0
\]
常见的直线公式
与\(O\alpha\)垂直的直线方程
\[\frac{z}{\alpha}+\frac{\bar{z}}{\bar{\alpha}}=k\ \ (k\in \mathbb{R})
\]
与\(O\alpha\)斜率相等的直线方程
\[\frac{z}{\alpha}-\frac{\bar{z}}{\bar{\alpha}}=k\ \ (k\in \mathbb{R})
\]
特例：\(O\alpha\)的中垂线方程
\[\frac{z}{\alpha}+\frac{\bar{z}}{\bar{\alpha}}=1
\]
特例：经过\(\omega\)且与\(O\alpha\)垂直的直线方程
\[\frac{z}{\alpha}+\frac{\bar{z}}{\bar{\alpha}}=\frac{\omega}{\alpha}+\frac{\bar{\omega}}{\bar{\alpha}}
\]
特例：经过\(\omega\)且与\(O\alpha\)斜率相等的直线方程
\[\frac{z}{\alpha}-\frac{\bar{z}}{\bar{\alpha}}=\frac{\omega}{\alpha}-\frac{\bar{\omega}}{\bar{\alpha}}
\]
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