A story of The Small P 题解

「2020-2021 集训队作业」A story of The Small P

题意

给定 \(N, m, k\) ,求有多少个正整数序列 h 满足：

• h 的长度 \(n\) 满足 \(1\leq n\leq N\)。
• \(1\leq h_i\leq m\)。
• 正好存在 \(k\) 个 \(i\) 满足 \(h_i<h_{i+1}\)。

答案模 \(998244353\)。

\(2\leq N, m, k\leq 2^{19},(N-k+1)\times m\leq 2^{20}\)。

思路

先想 dp 。求的可以看成有 \(n−1−k\) 个位置不满足的序列个数。

因为 \((N − k + 1)\times m\leq 2^{20}\)，设 \(dp_{i,j,k}\) 表示前 \(i\) 个值，有 \(j\) 个不满足,结尾为 \(k\)。

\(dp_{i,j,k}\) 的值转移到 \(dp_{i+1,j,l},k\leq l\) 和 \(dp_{i+1,j+1,l},j<m\)。

令 \(s=j\times m+k\)，则 \(dp_{i,s}\) 可以转移到 \(dp_{i+1,s1},s+1\leq s1\leq s+m\)。

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写成生成函数。\(dp_i=(x+...+x ^m)^i\)。\(dp_{i,s}\) 即为 \(dp_i\) 在 \(x^s\) 处的系数。

对于一个长度小于 \(N\) 的序列，在后面补上 \(N−n\) 个不满足。

可以写成：

\[\sum_{i=1}^N{((x+...+x^m)^i\times (x^m)^{N-i})} \]

\[=\frac{(x+...+x^m-x^m)\times \sum_{i=1}^N{((x+...+x^m)^i\times (x^m)^{N-i}})}{x+...+x^{m-1}} \]

\[=\frac{\sum_{i=1}^N{((x+...+x^m)^{i+1}\times (x^m)^{N-i}}-(x+...+x^m)^i\times (x^m)^{N-i+1})}{x+...+x^{m-1}} \]

\[=\frac{(x+...+x^m)^{N+1}-(x+...+x^m)\times (x^m)^{N+1}}{x+...+x^{m-1}} \]

\[=\frac{(x+...+x^m)^{N+1}-(x^m)^{N+1}}{x+...+x^{m-1}}-(x^m)^N \]

\[=x^N\times \frac{(1+...+x^{m-1})^{N+1}-(x^{m-1})^{N+1}}{1+...+x^{m-2}}-(x^m)^N \]

而答案即为 \(x^{(N−1−k)∗m+1}...x^{(N−k)∗m}\) 项的系数之和。

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设 \(G(x)=1+...+x^{m-1},F(x)=G(x)^{N+1}=\sum{(f_i\times x^i)}\)。

\[F'(x)=(N+1)G'(x)G(x)^N \]

\[F'(x)G(x)=(N+1)G'(x)F(x) \]

\[F'(x)=\sum i\times f_i\times x^{i-1} \]

\[G'(x)=\sum_{i=0}^{m-2}{(i+1)\times x^i} \]

对于 \(x^n\) 对比系数：

\[\sum_{i=0}^{m-1}{(n-i+1)\times f_{n-i+1}}=\sum_{i=0}^{m-2}{(i+1)\times f_{n-i}} \]

\[(n+1)f_{n+1}=\sum_{i=1}^{m-1}{((N+2)\times i-n-1)f_{n-i+1}} \]

\[f_i=((n+2)\times ((i\times \sum_{j=1}^{m-1}{f_{i-j})}-\sum_{j=1}^{m-1}{((n-j+1)\times f_{n-j+1}}))-i\times \sum_{j=1}^{m-1}{f_{n-j+1}})\times inv_i \]

前缀和转移。

到这里可以算出 \((1+...+x^{m-1})^{N+1}-(x^{m-1})^{N+1}\) 的系数。

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处理除法。

设 \(g(x)=\frac{1}{1+...+x^{m-1}}=\sum (g_i\times x^i)\)。

\[g_0=1 \]

对于 \(x^n\) 对比系数：

\[\sum_{i=0}^{m-1}{g_{n-i}}=0 \]

\[g_i=\sum_{i=1}^{m-2}{g_{i-j}} \]

答案即为 \(F(x)\times g(x)\) 的 \(x^{(N−1−k)∗m+1-N}...x^{(N−k)∗m-N}\) 项系数和。

对于每个 \(f_i\) 计算贡献：

\[ans=\sum_i {((\sum_{j=(N-k)\times m+1-i-N}^{(N-k)\times m+m-i-N}{g_j})\times f_i)} \]

end.