哈夫曼编码问题

本博客的代码的思想和图片参考：好大学慕课浙江大学陈越老师、何钦铭老师的《数据结构》

哈夫曼编码问题

1 引子

1.1

将百分制的考试成绩转换成五分制的成绩，程序如下：

if( score < 60 ) grade =1;
else if( score < 70 ) grade =2;
else if( score < 80 ) grade =3;
else if( score < 90 ) grade =4;
else grade =5;

 

那么上面这个其实是一棵判断树：

 

我们发现，在这个判断树中，60分以下的需要查找一次，60-69的需要查找两次

70-79需要查找三次，80-89的需要查找四次，90以上的需要查找五次

如果全部的分数集中在70—80之间，那么这棵树就不够优化。

 

1.2

如果我们考虑学生的成绩分布情况，如下表所示：

分数段	0-59	60-69	70-79	80-89	90以上
比例	0.05	0.15	0.40	0.30	0.10

 

根据上面的判断树和学生成绩的分布情况，那么我们计算平均的查找效率：

0.05*1+0.15*2+0.40*3+0.30*4+0.10*4=3.15

如何我们重新设计程序，让频率高优先判定，那么就会减少判定的次数，我们重新设计判断程序和判断树

 

if(score<80){

       if(score<70){

            if(score<60){

                grade=1;

            }else{

                grade=2;

            }

       }else{

            grade=3;

       }

     }else{

         if(score<90){

            grade=4;

         }else{

            grade=5;

         }

     }

 

这样的判断树就如下所示：

 

 

分数段	0-59	60-69	70-79	80-89	90以上
比例	0.05	0.15	0.40	0.30	0.10

 

那么我们再根据判断树和分数的频率来计算平均查找效率：

0.05*3+0.15*3+0.4*2+0.3*2+0.10*2=2.2

平均查找效率明星变高了。

 

思考：如果根据节点的频率不同，构造更高效率的搜索树

 

2 哈夫曼树

2.1 定义

定义：带权路径长度(WPL):设二叉树有n个叶子节点，每个节点带有权值,从根节点到每个叶子节点的长度为，则每个叶子的带权路径之和为

最优二叉树或者哈夫曼数：WPL值最小

 

2.2 例子

现有五个叶子节点，他们的权值为{1,2,3,4,5},用此权值序列可以构造多个不同形状的二叉树。

 

 

 

3哈夫曼编码

3.1例子

 给定一段字符串，如何对字符进行编码，可以使得该字符串的
存储空间最少？
[例] 假设有一段文本，包含58个字符，并由以下7个字符构： a，
s， t，空格（ sp），换行（ nl）；这7个字符出现的次数不同。如
这7个字符进行编码，使得总编码空间最少？
【 分析】
（ 1）用等长ASCII编码： 58 ×8 = 464位；
（ 2）用等长3位编码： 58 ×3 = 174位；
（ 3）不等长编码：出现频率高的字符用的编码短些，出现频率低
的字符则可以编码长些？

 

3.2如何进行不等长编码

3.2.1 编码的二义性

例如：

a:1

e:0

s:10

t:11

那么1011是什么编码

aeza:1101

aet:1101

st:1011

 

这样就产生了编码的二义性。

 

 

那么如何避免二义性呢？使用前缀码

前缀码(prefix code):任何字符的编码都不是另一个字符编码的前缀，就可以无二义的解码

 

3.2.2 使用二叉树进行编码

使用二叉树进行编码：

a):左右分支表示0,1

b)字符只在叶子节点上

 

四个字符的频率：

a:4,u:1,x:2,z:1

那么我们可以使用二叉树进行编码

 

 

可以看出，使用二叉树进行哈夫曼编码可以减少编码的总长度

 

 

3.3 哈夫曼编码的一个具体的例子

该例子出自于：慕课浙江大学数据结构陈越老师何钦铭老师

 

需求：

 

 

 

 

 

二叉树的哈夫曼编码