紧空间中的网

紧空间中的网一定有收敛子网.

证明：

设$X$是紧空间, $\{x_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$是$X$中的网. 对于任意$\lambda\in\Lambda$, 定义$E_\lambda=\{x_\gamma: \lambda\preceq\gamma\}$, $F_\lambda=\overline{E_\lambda}$. 则对于任意$\lambda_1\preceq\lambda_2$有$F_{\lambda_1}\supset F_{\lambda_2}$.

 断言: $\bigcap_{\lambda\in \Lambda}F_\lambda\neq\varnothing$.

取$y\in \bigcap_{\lambda\in \Lambda}F_\lambda$, 下证存在子网收敛于$y$. 设$\mathscr{U}$为$y$的邻域系, 则$\mathscr{U}$关于集合的包含关系是定向集. 定义
\[
\mathscr{E}=\{(\gamma,U):\gamma\in\Lambda,U\in\mathscr{U}, x_\gamma\in U\}.
\]
显然$\mathscr{E}$按照乘积序是有向集. 定义$N:\mathscr{E}\to\Lambda$为$N(\gamma,U)=\gamma$. 以下简记$N(\gamma,U)=N_\gamma$, 则易证$\{x_{N_\gamma}\}$是$\{x_\lambda\}$的子网. 只需再证明$\{x_{N_\gamma}\}$收敛于$y$即可.

设$U_y$是$y$的任意邻域, 则对于任意的$\lambda$都有$U_y\cap E_\lambda\neq\varnothing$. 于是存在$\gamma\succeq\lambda$使得$x_\gamma\in U_y$. 即$(\gamma,U_y)\in\mathscr{E}$. 由$\mathscr{E}$的定义可得, 对于所有的$(\alpha,U)\succeq (\gamma,U_y)$, 都有$x_{N_\alpha}\in U_y$. 故$\{x_{N_\gamma}\}$收敛于$y$.

 

参考文献：

1. 熊金诚，点集拓扑讲义（第三版），高等教育出版社，2003.

2. 凯莱，一般拓扑学（第二版），科学出版社，2010.