直线参数方程的研究

能不能用向量来表示直线呢？

如果给定一个直线的方向向量是n=(1,1),可以求出无数条和平行的直线方程，解并不唯一。

 

那怎么才能让某条直线固定下来呢？还需要一个点，对不对，方向向量是确定了这条直线的倾斜角，只要再经过一个定点，那么这条直线就唯一被确定了。

所以可以肯定，如果给定一条直线一个定点，和它的方向向量，就一定能唯一确定一条直线。

设一条直线过定点P0(x0,y0),它的方向向量是pdir(m,n),求这条直线的表达式？

直线是由点构成的，求直线的表达式，也就是求这条直线任意一点的坐标，我们设这条直线上任意一点坐标为p（x,y）

 

 

 

根据向量加法的四边形法则有

向量OP=向量OP0+向量OPdir，因为P0是定点，Pdir给定的话，也是定下来了，最后求出的P点坐标也是直线上的某一个点，并不能代表所有的点，怎么办？

给向量OPdir加一个参数t，就变成了

 

向量OP=向量OP0+t*向量OPdir

其实这就是直线的参数方程了。

简写成P=P0+tPdir

转换成坐标就是

（x,y）=(x0,y0)+t(m,n)

即

x=x0+tm

y=y0+tn

考虑一下t的范围，如果t大于0，最终表示的是点或者向量是和op向量大概是同向的)，如果t<0，最终表示的点是op向量大概是反向的，如果t等于0，那么表示过定点(x0,y0)

所以t的范围应该是R

 

高中学习的直线的参数方程其实和这个思路是一样的。它用的是定点和直线和x轴的夹角来确定直线方程的，其实是殊途同归的。

因为直线和x轴的夹角就代表了直线的方向向量。