组合数学之母函数问题

母函数问题是组合数学中非常经典的问题，大概是本科二年级的课程，非常有意思的一门课，当然也是非常精深的一门课。

定义

对于序列a0，a1，a2。…构造函数G(x)：

则称函数G(x)是序列a0，a1，a2。…的母函数。
非常明显，依据二项展开式。非常easy知道(1+x)^n是序列C(n,0),C(n,1),…,C(n,n)的母函数。假设已知序列a0，a1。a2，…则相应的母函数G(x)便可依据定义给出。

反之。如若已经求得序列的母函数G(x)，则该序列也随之确定。 将序列a0，a1。a2，…记为{an}

Example

• 砝码问题
  经典的母函数问题就是砝码问题，即若有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚。能称出哪几种重量？各有几种可能方案？
  利用母函数，能够轻松求解该问题。
  考虑构造母函数。用x的指数表示称出的质量。则：
  1个1克的砝码能够用函数1+x表示，
  1个2克的砝码能够用函数1+x^2表示，
  1个3克的砝码能够用函数1+x^3表示，
  1个4克的砝码能够用函数1+x^4表示。
  几种砝码的组合能够称重的情况。能够用以上几个函数的乘积表示：
  (1+x)( 1+x^2)( 1+x^3)( 1+x^4),将该式子展开，x的指数表示能够称出的重量。其系数表示该种重量的方案数。

• 邮票问题
  砝码问题指定了每种砝码的数量，另一个经典的问题就是邮票问题。即求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数。

  
  与砝码问题所不同的是。邮票同意反复，所以构造的母函数也就不同，
  
  这一类问题，经常涉及到“整数拆分”的概念。所谓的“整数拆分”就是把一个整数分解成若干个整数的和。事实上就相当于把n个无差别的球放到n个无标志的盒子。盒子同意空着，也同意放多个球。整数拆分成若干个整数的和，不同拆分法的总数叫做拆分数。
  以上述的邮票问题为例，将上式展开后，以x^4为例，其系数为4。即将4拆分成1、2、3的拆分数是4，即4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2.

编码实现

对于母函数这一类问题，事实上求解的思路非常清晰，最关键的问题就是怎样模拟多项式的展开。
以邮票问题为例。编码实现。

输入为一个整型数值n。输出用1分、2分、3分…n分的邮票组合出数值n的方案数。

/*
    Name: 
    Copyright: 
    Author: Lijiansong
    Date: 06/08/15 17:38
    Description: 
    组合数学，母函数问题，求用1分、2分、3分、4分等的邮票贴出数值n的方案数。
*/
#include<iostream>
using namespace std;
const int num=10000;
// c1表示各项质量砝码能够组合的数目
// c2是中间量。表示每一次的情况
int c1[num+1],c2[num+1];
int main(){
    int n,i,j,k;
    while(cin>>n){//n表示待组合的数值 
        for(i=0;i<=n;++i){
    //1+x+x^2+x^3+...+x^n初始化，将质量从0-n的全部砝码初始化为1 
            c1[i]=1;
            c2[i]=0;
        }
        for(int i=2;i<=n;++i){//i从2遍历到n,表示第i个表达式 
            for(j=0;j<=n;++j)
//j从0遍历到n,j表示在第i个表达式里的第j个变量
                  for(k=0;k+j<=n;k+=i){
//k表示的是第j个指数,k每次递增i(由于第i个表达式的增量是i)
                    c2[j+k]+=c1[j];
                 }
            for(j=0;j<=n;++j){
//将c2的值赋给c1,而把c2初始化为0,由于c2每次是从一个表达式中開始的
                    c1[j]=c2[j];
                    c2[j]=0;
                 }
        }
        cout<<c1[n]<<endl;
    } 
    return 0;
}