完整教程：P2168 [NOI2015] 荷马史诗-提高+/省选-

P2168 [NOI2015] 荷马史诗

题目背景

追逐影子的人，自己就是影子 —— 荷马

题目描述

Allison 最近迷上了文学。她喜欢在一个慵懒的午后，细细地品上一杯卡布奇诺，静静地阅读她爱不释手的《荷马史诗》。但是由《奥德赛》和《伊利亚特》 组成的鸿篇巨制《荷马史诗》实在是太长了，Allison 想通过一种编码方式使得它变得短一些。

一部《荷马史诗》中有 $n$ 种不同的单词，从 $1$ 到 $n$ 进行编号。其中第 $i$ 种单词出现的总次数为 $w_i$。Allison 想要用 $k$ 进制串 $s_i$ 来替换第 $i$ 种单词，使得其满足如下要求：

对于任意的 $1\le i,j\le n$ ，$i\ne j$ ，都有：$s_i$ 不是 $s_j$ 的前缀。

现在 Allison 想要知道，如何选择 $s_i$，才能使替换以后得到的新的《荷马史诗》长度最小。在确保总长度最小的情况下，Allison 还想知道最长的 $s_i$ 的最短长度是多少？

一个字符串被称为 $k$ 进制字符串，当且仅当它的每个字符是 $0$ 到 $k-1$ 之间（包括 $0$ 和 $k-1$ ）的整数。

字符串 $str1$ 被称为字符串 $str2$ 的前缀，当且仅当：存在 $1\le t\le m$ ，使得 $str1=str2[\mathrm{1..}t]$。其中，$m$ 是字符串 $str2$ 的长度，$str2[\mathrm{1..}t]$ 表示 $str2$ 的前 $t$ 个字符组成的字符串。

输入格式

输入的第 $1$ 行包含 $2$ 个正整数 $n,k$ ，中间用单个空格隔开，表示共有 $n$ 种单词，需要使用 $k$ 进制字符串进行替换。

接下来 $n$ 行，第 $i+1$ 行包含 $1$ 个非负整数 $w_i$，表示第 $i$ 种单词的出现次数。

输出格式

输出包括 $2$ 行。

第 $1$ 行输出 $1$ 个整数，为《荷马史诗》经过重新编码以后的最短长度。

第 $2$ 行输出 $1$ 个整数，为保证最短总长度的情况下，最长字符串 $s_i$ 的最短长度。

输入输出样例 #1

输入 #1

4 2
1
1
2
2

输出 #1

12
2

输入输出样例 #2

输入 #2

6 3
1
1
3
3
9
9

输出 #2

36
3

说明/提示

【样例解释】

样例 1 解释

用 $X(k)$ 表示 $X$ 是以 $k$ 进制表示的字符串。

一种最优方案：令 $00(2)$ 替换第 $1$ 种单词， $01(2)$ 替换第 $2$ 种单词， $10(2)$ 替换第 $3$ 种单词，$11(2)$ 替换第 $4$ 种单词。在这种方案下，编码以后的最短长度为：

$$1\times 2+1\times 2+2\times 2+2\times 2=12$$

最长字符串 $s_i$ 的长度为 $2$ 。

一种非最优方案：令 $000(2)$ 替换第 $1$ 种单词，$001(2)$ 替换第 $2$ 种单词，$01(2)$ 替换第 $3$ 种单词，$1(2)$ 替换第 $4$ 种单词。在这种方案下，编码以后的最短长度为：

$$1\times 3+1\times 3+2\times 2+2\times 1=12$$

最长字符串 $s_i$ 的长度为 $3$ 。与最优方案相比，文章的长度相同，但是最长字符串的长度更长一些。

样例 2 解释

一种最优方案：令 $000(3)$ 替换第 $1$ 种单词，$001(3)$ 替换第 $2$ 种单词，$01(3)$ 替换第 $3$ 种单词， $02(3)$ 替换第 $4$ 种单词， $1(3)$ 替换第 $5$ 种单词， $2(3)$ 替换第 $6$ 种单词。

【数据规模与约定】

所有测试数据的范围和特点如下表所示（所有数据均满足 $0<w_i\le 10^{11}$）：

::cute-table{tuack}

测试点编号	$n$ 的规模	$k$ 的规模	备注
$1$	$n=3$	$k=2$
$2$	$n=5$	^	^
$3$	$n=16$	^	所有 $w_i$ 均相等
$4$	$n=1000$	^	$w_i$ 在取值范围内均匀随机
$5$	^	^
$6$	$n=100000$	^	^
$7$	^	^	所有 $w_i$ 均相等
$8$	^	^
$9$	$n=7$	$k=3$	^
$10$	$n=16$	^	所有 $w_i$ 均相等
$11$	$n=1001$	^	^
$12$	$n=99999$	$k=4$	^
$13$	$n=100000$	^	^
$14$	^	^	^
$15$	$n=1000$	$k=5$	^
$16$	$n=100000$	$k=7$	$w_i$ 在取值范围内均匀随机
$17$	^	^
$18$	^	$k=8$	$w_i$ 在取值范围内均匀随机
$19$	^	$k=9$
$20$	^	^	^

【提示】

选手请注意使用 64 位整数进行输入输出、存储和计算。

【评分方式】

对于每个测试点：

• 若输出文件的第 $1$ 行正确，得到该测试点 $40\%$ 的分数；
• 若输出文件完全正确，得到该测试点 $100\%$ 的分数。

solution

类似于哈夫曼编码, 构造一颗 k 叉树，如果节点个数 n = 1 mod (k - 1), 则恰好每个内部节点都有 k 个子节点，否则将多余的部分先合并称一个节点,使得其恰好满足 n = 1 mod (k - 1)。 接下来按照如下方式进行合并：

• 0 初始时所有的节点都是孤立的点，加入到队列中
• 1 从队列中取出最小的 k 个节点，并给它们加一个父节点，父节点的值为它们的和，把父节点加入队列
• 2 重复执行 1 直到所有所有节点构成一颗 k 叉树即可。

代码

#include <iostream>
  #include "bit"
  #include "vector"
  #include "unordered_set"
  #include "unordered_map"
  #include "set"
  #include "queue"
  #include "algorithm"
  #include "bitset"
  #include "cstring"
  #include "cmath"
  #include "list"
  using namespace std;
  /*
  * P2168 [NOI2015] 荷马史诗
  *
  * 思路：类似于哈夫曼编码, 构造一颗 k 叉树，如果节点个数 n = 1 mod (k - 1), 则恰好每个内部节点都有 k 个子节点，
  * 某则将多余的部分先合并称一个节点,使得其恰好满足 n = 1 mod (k - 1)。 接下来按照如下方式进行合并：
  * 0 初始时所有的节点都是孤立的点，加入到队列中
  * 1 从队列中取出最小的 k 个节点，并给它们加一个父节点，父节点的值为它们的和，把父节点加入队列
  * 2 重复执行 1 直到所有所有节点构成一颗 k 叉树即可。
  */
  typedef long long ll;
  const int N = 1e5 + 2;
  struct node {
  ll x;
  int d;
  bool operator<
  (const node &y) const {
  if (x != y.x) return x > y.x;
  return d > y.d;
  }
  };
  int n, k;
  priority_queue<node> q;
    int main() {
    cin >> n >> k;
    int t = (n - 1) % (k - 1) + 1, cnt = 0;
    ll ans = 0, x;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> x, q.push({x, 0
      });
      if (t >
      1) {
      node u{
      0, 0
      };
      while (t--) {
      auto v = q.top();
      u.x += v.x;
      q.pop();
      }
      u.d = 1;
      ans += u.x;
      q.push(u);
      }
      while (q.size() >
      1) {
      node u{
      0, 0
      };
      for (int i = 0; i < k; i++) {
      auto v = q.top();
      u.x += v.x;
      u.d = max(u.d, v.d + 1);
      q.pop();
      }
      q.push(u);
      ans += u.x;
      cnt = max(cnt, u.d);
      }
      cout << ans << endl << cnt << endl;
      return 0;
      }

结果