AVL树的达成

AVL树的实现

1. AVL的概念

  1. AVL树是最先发明的⾃平衡⼆叉查找树，AVL是⼀颗空树，或者具备下列性质的⼆叉搜索树：它的左右⼦树都是AVL树，且左右⼦树的⾼度差的绝对值不超过1。AVL树是⼀颗⾼度平衡搜索⼆叉树，通过控制⾼度差去控制平衡。
  2. AVL树的实现这⾥我们引⼊⼀个平衡因⼦(balance factor)的概念，每个结点都有⼀个平衡因⼦，任何结点的平衡因⼦都等于右⼦树的⾼度减去左⼦树的⾼度，也就是说任何结点的平衡因⼦都等于0/1/-1，AVL树并不是必须要平衡因⼦，但是有了平衡因⼦可以更⽅便我们去进⾏观察和控制树是否平衡，就像⼀个⻛向标⼀样。
  3. 思考⼀下为什么AVL树是⾼度平衡搜索⼆叉树，要求⾼度差不超过1，⽽不是⾼度差是0呢？0不是更好的平衡吗？画画图分析我们发现，不是不想这样设计，⽽是有些情况是做不到⾼度差是0的。⽐如⼀棵树是2个结点，4个结点等情况下，⾼度差最好就是1，⽆法做到⾼度差是0。
  4. AVL树整体结点数量和分布和完全⼆叉树类似，⾼度可以控制在 logN，那么增删查改的效率也可以控制在 O(logN)，相⽐⼆叉搜索树有了本质的提升。
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2. AVL树的实现

2.1 AVL树的结构

// AVL树的节点
template<
class K
, class V
>
struct AVLTreeNode
{
// 需要用到parent指针，有利于更新平衡因子
pair<K, V> _kv;
  AVLTreeNode<K, V>
    * _left;
    AVLTreeNode<K, V>
      * _right;
      AVLTreeNode<K, V>
        * _parent;
        int _bf;
        // balance factor
        AVLTreeNode(const pair<K, V>
          & kv)
          :_kv(kv)
          ,_left(nullptr)
          ,_right(nullptr)
          ,_parent(nullptr)
          ,_bf(0)
          {
          }
          };
          // AVL树
          template<
          class K
          , class V
          >
          class AVLTree
          {
          typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
            public:
            //...
            private:
            Node* _root = nullptr;
            };

2.2 AVL树的插入

2.2.1 AVL树插入一个值的大概过程

  1. 插⼊⼀个值按⼆叉搜索树规则进⾏插⼊。
  2. 新增结点以后，只会影响祖先结点的⾼度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因⼦，所以更新从新增结点->根结点路径上的平衡因⼦，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可以停⽌了，具体情况我们下⾯再详细分析。
  3. 更新平衡因⼦过程中没有出现问题，则插⼊结束。
  4. 更新平衡因⼦过程中出现不平衡，对不平衡⼦树旋转，旋转后调平衡的同时，也降低了⼦树的⾼度，不会再影响上⼀层，所以插⼊结束。

2.2.2 平衡因子更新

更新原则：

  1. 平衡因⼦ = 右⼦树⾼度 - 左⼦树⾼度
  2. 只有⼦树⾼度变化才会影响当前结点平衡因⼦。
  3. 插⼊结点，会增加⾼度，所以新增结点在parent的右⼦树，parent的平衡因⼦++，新增结点在parent的左⼦树，parent平衡因⼦–
  4. parent所在⼦树的⾼度是否变化决定了是否会继续往上更新

更新停⽌条件：
5. 更新后parent的平衡因⼦等于0，更新中parent的平衡因⼦变化为-1->0或者1->0，说明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的结点插⼊在低的那边，插⼊后parent所在的⼦树⾼度不变，不会影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，更新结束。
6. 更新后parent的平衡因⼦等于1或-1，更新中parent的平衡因⼦变化为0->1或者0->-1，说明更新前parent⼦树两边⼀样⾼，新增的插⼊结点后，parent所在的⼦树⼀边⾼⼀边低，parent所在的⼦树符合平衡要求，但是⾼度增加了1，会影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，所以要继续向上更新。
7. 更新后parent的平衡因⼦等于2或-2，更新中parent的平衡因⼦变化为1->2或者-1->-2，说明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的插⼊结点在⾼的那边，parent所在的⼦树⾼的那边更⾼了，破坏了平衡，parent所在的⼦树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的⽬标有两个：1、把parent⼦树旋转平衡。2、降低parent⼦树的⾼度，恢复到插⼊结点以前的⾼度。所以旋转后也不需要继续往上更新，插⼊结束。

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2.2.3 插入节点及更新平衡因子的代码实现

bool Insert(const pair<K, V>
  & kv)
  {
  if (_root == nullptr)
  {
  _root = new Node(kv);
  return true;
  }
  Node* cur = _root;
  Node* parent = nullptr;
  while (cur)
  {
  if (cur->_kv.first < kv.first)
  {
  parent = cur;
  cur = cur->_right;
  }
  else if (cur->_kv.first > kv.first)
  {
  parent = cur;
  cur = cur->_left;
  }
  else
  {
  return false;
  }
  }
  cur = new Node(kv);
  if (parent->_kv.first < kv.first)
  {
  parent->_right = cur;
  }
  else
  {
  parent->_left = cur;
  }
  // 上面的代码都是二叉搜索树的插入逻辑
  // AVL树还要更新 _parent 指针
  cur->_parent = parent;
  // 更新平衡因子
  // parent为根的_parent循环就结束，循环中也有提前终止的条件
  while (parent)
  {
  // 根据cur插入的左右方向，对parent的平衡因子作出修改
  // 插入在右就++，插入在左就--
  if (cur == parent->_right)
  {
  parent->_bf++;
  }
  else if(cur == parent->_left)
  {
  parent->_bf--;
  }
  // 更新停止的4个条件
  // 第一种情况：1->0 / -1->0
  if (parent->_bf == 0)
  {
  // 更新停止
  break;
  }
  // 第二种情况：0->1 / 0->-1
  else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
  {
  // 继续向上更新,直到遇到不平衡的节点或nullptr
  cur = parent;
  parent = parent->_parent;
  }
  // 第三种情况：1->2 / -1->-2
  else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
  {
  // 不平衡了，旋转处理
  // 下面就是旋转的逻辑 
  break;
  }
  // 第四种情况：防止代码有误或者有没有考虑到的情况
  else
  {
  assert(false);
  }
  }
  // 插入成功
  return true;
  }

2.3 旋转

2.3.1 旋转的规则

  1. 保持搜索树的规则
  2. 让旋转的树从不平衡变平衡，其次降低旋转树的⾼度

旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋。

说明：下⾯的图中，有些结点给的是具体值，如10和5等结点，这⾥是为了⽅便画图，也有利于增进理解，实际中是什么值都可以，只要⼤⼩关系符合搜索树的性质即可。

2.3.2 右单旋

  1. 本图1展示的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵⾼度为h的⼦树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的⼦树的根。这⾥a/b/c是⾼度为h的⼦树，是⼀种概括抽象表示，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体图2/图3/图4/图5进⾏了详细描述。
  2. 在a⼦树中插⼊⼀个新结点，导致a⼦树的⾼度从h变成h+1，不断向上更新平衡因⼦，导致10的平衡因⼦从-1变成-2，10为根的树左右⾼度差超过1，违反平衡规则。10为根的树左边太⾼了，需要往右边旋转，控制两棵树的平衡。
  3. 旋转核⼼步骤，因为5<b⼦树的值<10，将b变成10的左⼦树，10变成5的右⼦树，5变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的⾼度恢复到了插⼊之前的h+2，符合旋转原则。如果插⼊之前10整棵树的⼀个局部⼦树，旋转后不会再影响上⼀层，插⼊结束了。

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2.3.3 右单旋代码实现

void RotateR(Node* parent)
{
// 可以看把代码和图一结合起来看
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
// 需要注意除了要修改孩子指针指向，还要修改父亲
parent->_left = subLR;
if (subLR) // 如果subLR为空子树就不用更新
subLR->_parent = parent;
// 记录parent的父节点
Node* ppnode = parent->_parent;
subL->_right = parent;
parent->_parent = subL;
// parent是根节点
if (parent == _root)
{
_root = subL;
subL->_parent = nullptr;
}
// parent只是一个子树的根
else
{
// 判断parent是ppnode的左子树还是右子树
// 并更新subL和ppnode的关系
if (ppnode->_left == parent)
{
ppnode->_left = subL;
}
else
{
ppnode->_right = subL;
}
subL->_parent = ppnode;
}
// 更新平衡因子
// 通过图1/2/3/4/5可得规律，更新后subL和parent的平衡因子都为0
subL->_bf = parent->_bf = 0;
}

2.3.4 左单旋

  1. 本图6展示的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵⾼度为h的⼦树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的⼦树的根。这⾥a/b/c是⾼度为h的⼦树，是⼀种概括抽象表⽰，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体跟上⾯左旋类似。
  2. 在a⼦树中插⼊⼀个新结点，导致a⼦树的⾼度从h变成h+1，不断向上更新平衡因⼦，导致10的平衡因⼦从1变成2，10为根的树左右⾼度差超过1，违反平衡规则。10为根的树右边太⾼了，需要往左边旋转，控制两棵树的平衡。
  3. 旋转核⼼步骤，因为10<b⼦树的值<15，将b变成10的右⼦树，10变成15的左⼦树，15变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的⾼度恢复到了插⼊之前的h+2，符合旋转原则。如果插⼊之前10整棵树的⼀个局部⼦树，旋转后不会再影响上⼀层，插⼊结束了。
    在这里插入图片描述

2.3.5 左单旋代码实现

// 左单旋跟右单旋的思想相似，可以对照着右单旋去理解左单旋
void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if (subRL)
subRL->_parent = parent;
Node* ppnode = parent->_parent;
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
if (parent == _root)
{
_root = subR;
subR->_parent = nullptr;
}
else
{
if (ppnode->_left == parent)
{
ppnode->_left = subR;
}
else
{
ppnode->_right = subR;
}
subR->_parent = ppnode;
}
parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

2.3.6 左右双旋

通过图7和图8可以看到，左边⾼时，如果插⼊位置不是在a⼦树，⽽是插⼊在b⼦树，b⼦树⾼度从h变成h+1，引发旋转，右单旋⽆法解决问题，右单旋后，我们的树依旧不平衡。右单旋解决的是纯粹的左边⾼，但是插⼊在b⼦树中，10为跟的⼦树不再是单纯的左边⾼，对于10是左边⾼，但是对于5是右边⾼，需要⽤两次旋转才能解决，以5为旋转点进⾏⼀个左单旋，以10为旋转点进⾏⼀个右单旋，这棵树这棵树就平衡了。

在这里插入图片描述

图7和图8分别为左右双旋中h=0和h=1具体场景分析，下⾯我们将a/b/c⼦树抽象为⾼度h的AVL⼦树进⾏分析，另外我们需要把b⼦树的细节进⼀步展开为8和左右⼦树⾼度为h-1的e和f⼦树，因为我们要对b的⽗亲5为旋转点进⾏左单旋，左单旋需要动b树中的左⼦树。b⼦树中新增结点的位置不同，平衡因⼦更新的细节也不同，通过观察8的平衡因⼦不同，这⾥我们要分三个场景讨论。

  1. 场景1：h>=1时，新增结点插⼊在e⼦树，e⼦树⾼度从h-1并为h并不断更新8->5->10平衡因⼦，引发旋转，其中8的平衡因⼦为-1，旋转后8和5平衡因⼦为0，10平衡因⼦为1。
  2. 场景2：h>=1时，新增结点插⼊在f⼦树，f⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因⼦，引发旋转，其中8的平衡因⼦为1，旋转后8和10平衡因⼦为0，5平衡因⼦为-1。
  3. 场景3：h==0时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新5->10平衡因⼦，引发旋转，其中8的平衡因⼦为0，旋转后8和10和5平衡因⼦均为0。

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2.3.7 左右双旋代码实现

void RotateLR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
// 一定要在调用左旋和右旋之前记录subRL的bf值
// 因为左旋和右旋会把subRL的bf值改掉
int bf = subLR->_bf;
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
if (bf == -1) // 情况一
{
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 1;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 1) // 情况二
{
subL->_bf = -1;
parent->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 0) // 情况三
{
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
}
else // 防止代码有误或者有没有考虑到的情况
{
assert(false);
}
}

2.3.8 右左双旋

跟左右双旋类似，下⾯我们将a/b/c⼦树抽象为⾼度h的AVL⼦树进⾏分析，另外我们需要把b⼦树的细节进⼀步展开为12和左右⼦树⾼度为h-1的e和f⼦树，因为我们要对b的⽗亲15为旋转点进⾏右单旋，右单旋需要动b树中的右⼦树。b⼦树中新增结点的位置不同，平衡因⼦更新的细节也不同，通过观察12的平衡因⼦不同，这⾥我们要分三个场景讨论。

  1. 场景1：h>=1时，新增结点插⼊在e⼦树，e⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为-1，旋转后10和12平衡因⼦为0，15平衡因⼦为1。
  2. 场景2：h>=1时，新增结点插⼊在f⼦树，f⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为1，旋转后15和12平衡因⼦为0，10平衡因⼦为-1。
  3. 场景3：h==0时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新15->10平衡因⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为0，旋转后10和12和15平衡因⼦均为0。

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2.3.9 右左双旋代码实现

void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
// 一定要在调用右旋和左旋之前记录subRL的bf值
// 因为右旋和左旋会把subRL的bf值改掉
int bf = subRL->_bf;
RotateR(parent->_right);
RotateL(parent);
if (bf == -1)
{
parent->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
subR->_bf = 1;
}
else if (bf == 1)
{
parent->_bf = -1;
subRL->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
parent->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}

2.4 插入的完整代码

bool Insert(const pair<K, V>
  & kv)
  {
  if (_root == nullptr)
  {
  _root = new Node(kv);
  return true;
  }
  Node* cur = _root;
  Node* parent = nullptr;
  while (cur)
  {
  if (cur->_kv.first < kv.first)
  {
  parent = cur;
  cur = cur->_right;
  }
  else if (cur->_kv.first > kv.first)
  {
  parent = cur;
  cur = cur->_left;
  }
  else
  {
  return false;
  }
  }
  cur = new Node(kv);
  if (parent->_kv.first < kv.first)
  {
  parent->_right = cur;
  }
  else
  {
  parent->_left = cur;
  }
  cur->_parent = parent;
  // 更新平衡因子
  while (parent)
  {
  if (cur == parent->_right)
  {
  parent->_bf++;
  }
  else if(cur == parent->_left)
  {
  parent->_bf--;
  }
  if (parent->_bf == 0)
  {
  // 更新停止
  break;
  }
  else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
  {
  // 继续向上更新
  cur = parent;
  parent = parent->_parent;
  }
  else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
  {
  // 不平衡了，旋转处理
  // 单旋就是纯粹的左边高或者右边高
  // 双旋就是不是纯粹的一边高，比如：右子树高，右子树里面又是左子树高
  // 左边高
  if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) // 右单旋
  {
  RotateR(parent);
  }
  // 右边高
  else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1) // 左单旋
  {
  RotateL(parent);
  }
  // 对于parent左边高，对于cur右边高
  else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1) // 左右双旋
  {
  RotateLR(parent);
  }
  // 对于parent右边高，对于cur左边高
  else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1) // 右左双旋
  {
  RotateRL(parent);
  }
  break;
  }
  else
  {
  assert(false);
  }
  }
  return true;
  }

2.5 AVL树的查找

Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if(cur->_kv.first > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return cur;
}
}
return nullptr;
}

2.6 AVL树的平衡检测

#include <iostream>
  using namespace std;
  #include "AVLTree.h"
  // 测试代码
  void TestAVLTree1()
  {
  AVLTree<
  int, int> t;
  // 常规的测试用例
  //int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
  // 特殊的带有双旋场景的测试用例
  int a[] = {
  4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14
  };
  for (auto e : a)
  {
  /* if (e == 14)
  {
  int x = 0;
  }*/
  t.Insert({ e, e
  });
  /*cout << "Insert" << e << "->";
    cout << t.IsBalanceTree() << endl;*/
    }
    t.InOrder();
    cout << t.IsBalanceTree() << endl;
    }
    #include<vector>
      // 插入一堆随机值，测试平衡，顺便测试一下高度和性能等
      void TestAVLTree2()
      {
      const int N = 1000000;
      vector<
      int> v;
      v.reserve(N);
      srand(time(0));
      for (size_t i = 0; i < N; i++)
      {
      v.push_back(rand() + i);
      }
      size_t begin2 = clock();
      AVLTree<
      int, int> t;
      for (auto e : v)
      {
      t.Insert(make_pair(e, e));
      }
      size_t end2 = clock();
      cout <<
      "Insert:" << end2 - begin2 << endl;
      cout << t.IsBalanceTree() << endl;
      cout <<
      "Height:" << t.Height() << endl;
      cout <<
      "Size:" << t.Size() << endl;
      size_t begin1 = clock();
      // 确定在的值
      for (auto e : v)
      {
      t.Find(e);
      }
      // 随机值
      for (size_t i = 0; i < N; i++)
      {
      t.Find((rand() + i));
      }
      size_t end1 = clock();
      cout <<
      "Find:" << end1 - begin1 << endl;
      }
      int main()
      {
      TestAVLTree1();
      cout << endl;
      TestAVLTree2();
      return 0;
      }

在这里插入图片描述

3 AVL树的实现代码

3.1 AVLTree.h

#pragma once
#include <cassert>
  // AVL树的节点
  template<
  class K
  , class V
  >
  struct AVLTreeNode
  {
  pair<K, V> _kv;
    AVLTreeNode<K, V>
      * _left;
      AVLTreeNode<K, V>
        * _right;
        AVLTreeNode<K, V>
          * _parent;
          int _bf;
          // balance factor
          AVLTreeNode(const pair<K, V>
            & kv)
            :_kv(kv)
            ,_left(nullptr)
            ,_right(nullptr)
            ,_parent(nullptr)
            ,_bf(0)
            {
            }
            };
            // AVL树
            template<
            class K
            , class V
            >
            class AVLTree
            {
            typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
              public:
              bool Insert(const pair<K, V>
                & kv)
                {
                if (_root == nullptr)
                {
                _root = new Node(kv);
                return true;
                }
                Node* cur = _root;
                Node* parent = nullptr;
                while (cur)
                {
                if (cur->_kv.first < kv.first)
                {
                parent = cur;
                cur = cur->_right;
                }
                else if (cur->_kv.first > kv.first)
                {
                parent = cur;
                cur = cur->_left;
                }
                else
                {
                return false;
                }
                }
                cur = new Node(kv);
                if (parent->_kv.first < kv.first)
                {
                parent->_right = cur;
                }
                else
                {
                parent->_left = cur;
                }
                cur->_parent = parent;
                // 更新平衡因子
                while (parent)
                {
                if (cur == parent->_right)
                {
                parent->_bf++;
                }
                else if(cur == parent->_left)
                {
                parent->_bf--;
                }
                if (parent->_bf == 0)
                {
                // 更新停止
                break;
                }
                else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
                {
                // 继续向上更新
                cur = parent;
                parent = parent->_parent;
                }
                else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
                {
                // 不平衡了，旋转处理
                // 单旋就是纯粹的左边高或者右边高
                // 双旋就是不是纯粹的一边高，比如：右子树高，右子树里面又是左子树高
                if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) // 右单旋
                {
                RotateR(parent);
                }
                else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1) // 左单旋
                {
                RotateL(parent);
                }
                else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1) // 左右双旋
                {
                RotateLR(parent);
                }
                else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1) // 右左双旋
                {
                RotateRL(parent);
                }
                break;
                }
                else
                {
                assert(false);
                }
                }
                return true;
                }
                Node* Find(const K& key)
                {
                Node* cur = _root;
                while (cur)
                {
                if (cur->_kv.first < key)
                {
                cur = cur->_right;
                }
                else if(cur->_kv.first > key)
                {
                cur = cur->_left;
                }
                else
                {
                return cur;
                }
                }
                return nullptr;
                }
                void InOrder()
                {
                _InOrder(_root);
                cout << endl;
                }
                bool IsBalanceTree()
                {
                return _IsBalanceTree(_root);
                }
                int Height()
                {
                return _Height(_root);
                }
                int Size()
                {
                return _Size(_root);
                }
                private:
                int _Size(Node* root)
                {
                return root == nullptr ? 0 :
                _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;
                }
                int _Height(Node* root)
                {
                if (root == nullptr)
                return 0;
                int leftHeight = _Height(root->_left);
                int rightHeight = _Height(root->_right);
                return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
                }
                bool _IsBalanceTree(Node* root)
                {
                // 空树也是AVL树
                if (nullptr == root)
                return true;
                // 计算pRoot结点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差
                int leftHeight = _Height(root->_left);
                int rightHeight = _Height(root->_right);
                int diff = rightHeight - leftHeight;
                // 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者
                // pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树
                if (abs(diff) >= 2)
                {
                cout << root->_kv.first <<
                  "高度差异常" << endl;
                  return false;
                  }
                  if (root->_bf != diff)
                  {
                  cout << root->_kv.first <<
                    "平衡因子异常" << endl;
                    return false;
                    }
                    // pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树
                    return _IsBalanceTree(root->_left) &&
                    _IsBalanceTree(root->_right);
                    }
                    void _InOrder(Node* root)
                    {
                    if (root == nullptr)
                    {
                    return;
                    }
                    _InOrder(root->_left);
                    cout << root->_kv.first <<
                      " ";
                      _InOrder(root->_right);
                      }
                      void RotateR(Node* parent)
                      {
                      Node* subL = parent->_left;
                      Node* subLR = subL->_right;
                      // 需要注意除了要修改孩子指针指向，还要修改父亲
                      parent->_left = subLR;
                      if (subLR)
                      subLR->_parent = parent;
                      Node* ppnode = parent->_parent;
                      subL->_right = parent;
                      parent->_parent = subL;
                      if (parent == _root)
                      {
                      _root = subL;
                      subL->_parent = nullptr;
                      }
                      else
                      {
                      if (ppnode->_left == parent)
                      {
                      ppnode->_left = subL;
                      }
                      else
                      {
                      ppnode->_right = subL;
                      }
                      subL->_parent = ppnode;
                      }
                      subL->_bf = parent->_bf = 0;
                      }
                      void RotateL(Node* parent)
                      {
                      Node* subR = parent->_right;
                      Node* subRL = subR->_left;
                      parent->_right = subRL;
                      if (subRL)
                      subRL->_parent = parent;
                      Node* ppnode = parent->_parent;
                      subR->_left = parent;
                      parent->_parent = subR;
                      if (parent == _root)
                      {
                      _root = subR;
                      subR->_parent = nullptr;
                      }
                      else
                      {
                      if (ppnode->_left == parent)
                      {
                      ppnode->_left = subR;
                      }
                      else
                      {
                      ppnode->_right = subR;
                      }
                      subR->_parent = ppnode;
                      }
                      parent->_bf = subR->_bf = 0;
                      }
                      void RotateLR(Node* parent)
                      {
                      Node* subL = parent->_left;
                      Node* subLR = subL->_right;
                      // 一定要在调用左旋和右旋之前记录subRL的bf值
                      // 因为左旋和右旋会把subRL的bf值改掉
                      int bf = subLR->_bf;
                      RotateL(parent->_left);
                      RotateR(parent);
                      if (bf == -1)
                      {
                      subL->_bf = 0;
                      parent->_bf = 1;
                      subLR->_bf = 0;
                      }
                      else if (bf == 1)
                      {
                      subL->_bf = -1;
                      parent->_bf = 0;
                      subLR->_bf = 0;
                      }
                      else if (bf == 0)
                      {
                      subL->_bf = 0;
                      parent->_bf = 0;
                      subLR->_bf = 0;
                      }
                      else
                      {
                      assert(false);
                      }
                      }
                      void RotateRL(Node* parent)
                      {
                      Node* subR = parent->_right;
                      Node* subRL = subR->_left;
                      // 一定要在调用右旋和左旋之前记录subRL的bf值
                      // 因为右旋和左旋会把subRL的bf值改掉
                      int bf = subRL->_bf;
                      RotateR(parent->_right);
                      RotateL(parent);
                      if (bf == -1)
                      {
                      parent->_bf = 0;
                      subRL->_bf = 0;
                      subR->_bf = 1;
                      }
                      else if (bf == 1)
                      {
                      parent->_bf = -1;
                      subRL->_bf = 0;
                      subR->_bf = 0;
                      }
                      else if (bf == 0)
                      {
                      parent->_bf = 0;
                      subRL->_bf = 0;
                      subR->_bf = 0;
                      }
                      else
                      {
                      assert(false);
                      }
                      }
                      private:
                      Node* _root = nullptr;
                      };

3.2 test.cpp

#include <iostream>
  using namespace std;
  #include "AVLTree.h"
  // 测试代码
  void TestAVLTree1()
  {
  AVLTree<
  int, int> t;
  // 常规的测试用例
  //int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
  // 特殊的带有双旋场景的测试用例
  int a[] = {
  4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14
  };
  for (auto e : a)
  {
  /* if (e == 14)
  {
  int x = 0;
  }*/
  t.Insert({ e, e
  });
  /*cout << "Insert" << e << "->";
    cout << t.IsBalanceTree() << endl;*/
    }
    t.InOrder();
    cout << t.IsBalanceTree() << endl;
    }
    #include<vector>
      // 插入一堆随机值，测试平衡，顺便测试一下高度和性能等
      void TestAVLTree2()
      {
      const int N = 1000000;
      vector<
      int> v;
      v.reserve(N);
      srand(time(0));
      for (size_t i = 0; i < N; i++)
      {
      v.push_back(rand() + i);
      }
      size_t begin2 = clock();
      AVLTree<
      int, int> t;
      for (auto e : v)
      {
      t.Insert(make_pair(e, e));
      }
      size_t end2 = clock();
      cout <<
      "Insert:" << end2 - begin2 << endl;
      cout << t.IsBalanceTree() << endl;
      cout <<
      "Height:" << t.Height() << endl;
      cout <<
      "Size:" << t.Size() << endl;
      size_t begin1 = clock();
      // 确定在的值
      for (auto e : v)
      {
      t.Find(e);
      }
      // 随机值
      for (size_t i = 0; i < N; i++)
      {
      t.Find((rand() + i));
      }
      size_t end1 = clock();
      cout <<
      "Find:" << end1 - begin1 << endl;
      }
      int main()
      {
      TestAVLTree1();
      cout << endl;
      TestAVLTree2();
      return 0;
      }

4 AVL树的相关习题

  1. 现有一棵无重复关键字的平衡二叉树（AVL树），对其进行中序遍历可得到一个降序序列。下列关于该平衡二叉树的叙述中，正确的是（）
    A.根结点的度一定为2
    B.树中最小元素一定是叶结点
    C.最后插入的元素一定是叶结点
    D.树中最大元素一定是无左子树

  2. 关于AVL树的旋转说法正确的是（）
    A.插入时，AVL树最多只需要旋转两次
    B.删除时，只要某个节点的平衡因子不满足特性时 ，只需要对该棵子树进行旋转，就可以使AVL树再次平衡
    C.AVL树的节点中必须维护平衡因子，因为要依靠其平衡因子是否需要旋转以维护其平衡性
    D.AVL树的双旋转只需要直接使用对应的单旋转即可

答案解析：

对于第一题：
题目中说：中序遍历得到一个降序序列，则说明：根小于左子树中节点，大于右子树中节点

A：错误，根可以没有左子树，比如树中只有两个节点，即根以及根的右子树

B：错误，树中最小的元素一定是最左侧或者最右侧节点，但不一定是叶子节点

C：错误，最后插入的元素不一定是叶子节点，因为新节点插入后，为了保证其平衡性，还要对树进行旋转处理，旋转之后，就不一定在叶子的位置

D：正确，因为最大元素如果存在左子树，中序遍历就不可能是降序序列

因此：选择D

对于第二题：
A：正确，即双旋

B：错误，可能需要旋转多次，子树旋转后，其高度降低了一层，其上层可能也需要跟着旋转

C：错误，平衡因子不是必须要维护的，在操作时也可以直接通过高度函数来算，只不过比较麻烦

D：错误，不能直接使用单旋转，因为两个单旋转完成后，还需要对部分节点的平衡因子进行更新

因此，选择A

posted @ 2025-09-24 15:36  yfceshi  阅读(9)  评论(0)    收藏  举报