n*n矩阵方程组Ax=b，使用Eigen矩阵库常用解法介绍 - 详解

在使用 Eigen矩阵库求解n×n 线性方程组 Ax=b 时，有多种分解方式可供选择。不同的方法在精度、稳定性、速度和适用条件上各有优劣。

n×n 矩阵方程组 Ax = b 的 Eigen 常用解法（适用于 Microsoft Word）

在使用 EigenC++ 矩阵库求解线性方程组
A =
其中 A 是 n×n 矩阵， 和 是 n 维向量，有多种数值办法可供选择。以下是常用分解方法的对比与使用方式。

1. SVD 分解（最精确、最稳健）

• 适用条件：任意矩阵（包括奇异、病态、秩亏）
• 优点：数值最稳定，精度最高
• 缺点：计算较慢（O(n³)）

Eigen 代码：x = A.bdcSvd(ComputeThinU | ComputeThinV).solve(b);

数学原理：
对矩阵 A 进行奇异值分解：
A = UΣVᵀ
则解为：
= VΣ⁻¹Uᵀ

2. 列主元 QR 分解

• 适用条件：满秩或接近满秩矩阵
• 优点：精度高，稳定性好，速度较快
• 缺点：比无主元 QR 稍慢

Eigen 代码：x = A.colPivHouseholderQr().solve(b);

数学原理：
A = QR（带列主元置换 P）
P⁻¹A = QR
解： = R⁻¹Qᵀ

3. 普通 QR 分解（无主元）

• 适用条件：非病态满秩矩阵
• 优点：速度快
• 缺点：无主元，数值稳定性较差

Eigen 代码：x = A.householderQr().solve(b);

4. LU 分解（带全主元）

• 适用条件：可逆矩阵
• 优点：中等速度
• 缺点：不如 QR/SVD 稳定

Eigen 代码：x = A.fullPivLu().solve(b);

5. LDLᵀ 分解（对称矩阵专用）

• 适用条件：对称矩阵（正定或半正定）
• 优点：速度快，内存少，专为对称矩阵优化
• 缺点：仅适用于对称矩阵

Eigen 代码：x = A.ldlt().solve(b);

6. LLT 分解（Cholesky，正定专用）

• 适用条件：对称正定矩阵
• 优点：最快，精度高
• 缺点：仅适用于正定矩阵，否则会失败

Eigen 代码：x = A.llt().solve(b);

选择建议（决策树）

1. 是否对称正定？ → 使用 LLT 或 LDLT
2. 是否对称但可能奇异？ → 使用 LDLT
3. 是否病态或条件数大？ → 使用 SVD
4. 一般情况，追求精度？ → 使用 colPivHouseholderQr
5. 追求速度且矩阵良好？ → 使用 householderQr