完整教程：线性代数小述（一）

线性代数小述（一）

by Amamiya_Fuko

斜阳洒落，仍是今朝
踉跄西去，不见东还

前言

线性代数是什么？它什么也不是，也可能是什么，它的意义是随意的、偶然的，也许它是期末考试的科目，又或者是解决问题的工具，但现在它是我们欲望的名，是我的自我，是神圣的本体，总之，是有趣的东西，希望你享受其中。

线性变换

线性变换是一个同态映射，这同样也是说，线性变换是两个代数系统的同态映射。

这两个代数体系也就是向量空间，向量空间是一个特殊的代数结构，它不是环也不是群。

向量空间

通过向量能够被理解为一些代数的集合，如有向量$\overrightarrow{v}=\{a,b,c,d\}$

向量空间由一个在向量集上的二元运算、以及一个由向量集、数集到向量集的二元运算组成组成，对应着向量加法与向量倍乘。

通过我们能够将矩阵理解为向量的集合，如
$$\left[\begin{array}{c}\overrightarrow{v_1}\\ \overrightarrow{v_2}\\ \overrightarrow{v_3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]$$
设想一个由两个向量推导出的向量空间，如向量$\overrightarrow{v_1}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$以及向量$\overrightarrow{v_2}=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$

显然的，在考虑满足封闭性的情况下，向量空间的向量集必然是一个平面。

又显然的，既然向量空间封闭，那么向量空间中的全体元与其中某元的运算必然回到向量空间中。