【C++】二叉搜索树 - 指南
一、概念与性能分析
二叉搜索树，又称搜索二叉树、二叉排序树，是一种具有特殊性质的二叉树：
- 左子树上所有结点的值都小于等于根结点的值
- 右子树上所有结点的值都大于等于根结点的值
- 它的左右子树也都是二叉搜索树
- 二叉搜索树中可以支持插入相等的值，也可以不支持插入相等的值，具体看场景需求
由于它本身和它的子树都是二叉搜索树，不难想象：二叉搜索树的中序遍历一定是升序序列
从名字就能看出来，二叉搜索树主要用于搜索。最优情况下，如果它接近完全二叉树的结构，不难分析，最大搜索次数即其树的高度：log2N；最差情况下，如果它接近单支树的结构，则其搜索次数接近结点个数：N。
所以综合来看二叉搜索树的增删查改效率为O(N)，这样的时间复杂度还是太高了。必须将二叉搜索树的结构进一步优化，也就是以后要学习的平衡二叉搜索树AVL树、红黑树。
二、二叉搜索树的实现
1. 结点
首先需要定义出结点的结构：
template<
class K>
struct BSTreeNode
{
BSTreeNode* _left;
BSTreeNode* _right;
K _key;
BSTreeNode(
const K& key)
:_left(
nullptr
)
,_right(
nullptr
)
,_key(key)
{
}
}
;2. 默认成员函数
由于树的类中涉及到结点资源的开辟和删除，所以需要我们自己写拷贝构造、赋值重载、析构函数等。
template<
class K>
class BSTree
{
typedef BSTreeNode<K> Node;
private:
Node* _root;
public:
//......
}- 默认构造函数：
//默认构造一棵空树
BSTree(
)
:_root(
nullptr
)
{
}之前我们学习链式结构的树，它的很多操作都需要用递归完成，但我们这里的拷贝构造、析构函数没办法传参递归怎么办？我们可以写出递归的函数后，“包装”起来：
- 拷贝构造函数：
BSTree(
const BSTree<K>
& t)
{
//实际完成拷贝功能的是Copy函数，我们的拷贝构造只是把他包装起来
_root = Copy(t._root)
;
}
Node* Copy(Node* root)
{
if (root ==
nullptr
)
{
return
nullptr
;
}
Node* newnode =
new Node(root->_key)
;
//利用递归完成所有结点的拷贝
newnode->_left = Copy(root->_left)
;
newnode->_right = Copy(root->_right)
;
return newnode;
}- 析构函数：
~BSTree(
)
{
Destory(_root)
;
_root =
nullptr
;
}
void Destory(Node* root)
{
if (root ==
nullptr
)
{
return
;
}
//利用递归完成所有结点的资源释放
Destory(root->_left)
;
Destory(root->_right)
;
delete root;
}拷贝构造函数的Copy函数和析构函数的Destory函数仅供它们内部使用，所以可以把它们放到private部分
- 赋值运算符重载：
BSTree<K>
&
operator=(BSTree<K> t)
{
swap(_root, t._root)
;
return *
this
;
}3. 插入
二叉搜索树的插入要按照搜索树的性质寻找正确位置插入：
- 树为空，则直接新增结点作为root
- 树不为空，则按照二叉搜索树性质，插入值比当前节点值大就往右走，插入值比当前节点值小则往左走。直到找到空位置，插入新节点：
代码实现：
bool Insert(
const K& key)
{
if (_root ==
nullptr
)
{
_root =
new Node(key)
;
return true
;
}
//parent保存待插入位置的父结点
Node* parent =
nullptr
;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (key < cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
if (key > cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
//如果key值已存在，则插入失败
return false
;
}
}
//cur找到了正确的位置
cur =
new Node(key)
;
if (parent->_key < key)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
return true
;
}4. 查找
查找一个值是否存在，也很简单了：
bool Find(
const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (key < cur->_key)
{
cur = cur->_left;
}
else
if (key > cur->_key)
{
cur = cur->_right;
}
else //key == cur->_key,找到了
{
return true
;
}
}
return false
;
}5. 删除
二叉搜索树的删除相对复杂，首先查找待删除元素结点，不存在则返回false。
若存在，则显然有以下几种情形：（假设要删除的结点为x）
x没有孩子、有左孩子或右孩子、有两个孩子。
为了删除结点后不破坏搜索二叉树的性质，它们要用不同的解决方法：
- 若x没有孩子，则直接删除x
- 若x只有一个孩子，则让x的父亲的原指向x的指针改为指向x的孩子，再删除x
- 若x有两个孩子，使用替换法：找x的左子树的最大结点l（即左子树的最右结点），或x的右子树的最小结点r（即右子树的最左结点），代替x。因为这两个结点的值替换x后，都还能保持搜索二叉树的性质。最后再删除l或r结点，因为l或r结点一定是没有孩子或只有一个孩子的，再用上面两种情形方法处理就好。
代码实现，可以将情形1和情形2整合讨论：
bool Erase(
const K& key)
{
Node* parent =
nullptr
;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (key < cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
if (key > cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else //找到了待删除结点cur，开始删除
{
//如果cur左孩子为空，就连接parent和cur的右子
if (cur->_left ==
nullptr
)
{
//特殊情况cur为根结点，cur右孩子当根结点
if (cur == _root)
{
_root = cur->_right;
}
else
{
//如果cur是parent的左，则让parent的左指向cur的右子
if (cur == parent->_left)
{
parent->_left = cur->_right;
}
//如果cur是parent的右，则让parent的右指向cur的右子
else
{
parent->_right = cur->_right;
}
}
delete cur;
}
//如果cur右孩子为空，就连接parent和cur的左子
else
if (cur->_right ==
nullptr
)
{
//特殊情况cur为根结点，cur左孩子当根结点
if (cur == _root)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
//如果cur是parent的左，则让parent的左指向cur的左子
if (cur == parent->_left)
{
parent->_left = cur->_left;
}
//如果cur是parent的右，则让parent的右指向cur的左子
else
{
parent->_right = cur->_left;
}
}
delete cur;
}
else //两个孩子，这里选择找左子树的最大结点替换
{
Node* LeftMaxParent = cur;
Node* LeftMax = cur->_left;
//找左子树的最右结点
while (LeftMax->_right)
{
LeftMaxParent = LeftMax;
LeftMax = LeftMax->_right;
}
swap(cur->_key, LeftMax->_key)
;
//此时LeftMax一定没有右孩子，可能有左孩子
//还可能LeftMaxParent就是根结点，所以要判断LeftMax是其父的左还是右孩子
if (LeftMaxParent->_left == LeftMax)
{
LeftMaxParent->_left = LeftMax->_left;
}
else
{
LeftMaxParent->_right = LeftMax->_left;
}
delete LeftMax;
}
return true
;
}
}
return false
;
}6. 中序遍历
为了验证二叉搜索树的性质，我们要判断中序遍历的结果是否是升序的：
void InOrder(
)
{
_InOrder(_root)
;
cout << endl;
}
void _InOrder(Node* root)
{
if (root ==
nullptr
)
{
return
;
}
_InOrder(root->_left)
;
cout << root->_key <<
" "
;
_InOrder(root->_right)
;
}同样地，将_InOrder函数放在private中。
7. 完整实现
综上，二叉搜索树的完整实现：
namespace lydly
{
template<
class K>
struct BSTreeNode
{
BSTreeNode* _left;
BSTreeNode* _right;
K _key;
BSTreeNode(
const K& key)
:_left(
nullptr
)
,_right(
nullptr
)
,_key(key)
{
}
}
;
template<
class K>
class BSTree
{
typedef BSTreeNode<K> Node;
private:
Node* _root;
public:
//默认构造一棵空树
BSTree(
)
:_root(
nullptr
)
{
}
//拷贝构造
BSTree(
const BSTree<K>
& t)
{
_root = Copy(t._root)
;
}
BSTree<K>
&
operator=(BSTree<K> t)
{
swap(_root, t._root)
;
return *
this
;
}
~BSTree(
)
{
Destory(_root)
;
_root =
nullptr
;
}
bool Insert(
const K& key)
{
if (_root ==
nullptr
)
{
_root =
new Node(key)
;
return true
;
}
Node* parent =
nullptr
;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (key < cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
if (key > cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
//如果key值已存在，则插入失败
return false
;
}
}
//cur找到了正确的位置
cur =
new Node(key)
;
if (parent->_key < key)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
return true
;
}
bool Find(
const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (key < cur->_key)
{
cur = cur->_left;
}
else
if (key > cur->_key)
{
cur = cur->_right;
}
else //key == cur->_key找到了
{
return true
;
}
}
return false
;
}
bool Erase(
const K& key)
{
Node* parent =
nullptr
;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (key < cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
if (key > cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else //找到了待删除结点，开始删除
{
//如果cur左孩子为空，就连接parent和cur的右子
if (cur->_left ==
nullptr
)
{
//特殊情况cur为根结点，cur右子当根
if (cur == _root)
{
_root = cur->_right;
}
else
{
//如果cur是parent的左，则让parent的左指向cur的右子
if (cur == parent->_left)
{
parent->_left = cur->_right;
}
//如果cur是parent的右，则让parent的右指向cur的右子
else
{
parent->_right = cur->_right;
}
}
delete cur;
}
//如果cur右孩子为空，就连接parent和cur的左子
else
if (cur->_right ==
nullptr
)
{
//特殊情况cur为根结点，cur左子当根
if (cur == _root)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
//如果cur是parent的左，则让parent的左指向cur的左子
if (cur == parent->_left)
{
parent->_left = cur->_left;
}
//如果cur是parent的右，则让parent的右指向cur的左子
else
{
parent->_right = cur->_left;
}
}
delete cur;
}
else //两个孩子，这里选择找左子树的最大结点替换
{
Node* LeftMaxParent = cur;
Node* LeftMax = cur->_left;
//找左子树的最右结点
while (LeftMax->_right)
{
LeftMaxParent = LeftMax;
LeftMax = LeftMax->_right;
}
swap(cur->_key, LeftMax->_key)
;
//此时LeftMax一定没有右孩子，可能有左孩子
//还可能LeftMaxParent就是根结点，所以要判断LeftMax是其父的左还是右孩子
if (LeftMaxParent->_left == LeftMax)
{
LeftMaxParent->_left = LeftMax->_left;
}
else
{
LeftMaxParent->_right = LeftMax->_left;
}
delete LeftMax;
}
return true
;
}
}
return false
;
}
void InOrder(
)
{
_InOrder(_root)
;
cout << endl;
}
private:
void Destory(Node* root)
{
if (root ==
nullptr
)
{
return
;
}
Destory(root->_left)
;
Destory(root->_right)
;
delete root;
}
void _InOrder(Node* root)
{
if (root ==
nullptr
)
{
return
;
}
_InOrder(root->_left)
;
cout << root->_key <<
" "
;
_InOrder(root->_right)
;
}
Node* Copy(Node* root)
{
if (root ==
nullptr
)
{
return
nullptr
;
}
Node* newnode =
new Node(root->_key)
;
//利用递归完成所有结点的拷贝
newnode->_left = Copy(root->_left)
;
newnode->_right = Copy(root->_right)
;
return newnode;
}
}
;
}简单测试：
没有问题。
三、key和key/value
上面我们实现的二叉搜索树，结点中只存储了一个key，称为关键码，关键码即为需要搜索的值，使用这种二叉搜索树的场景只需要判断key是否存在。key的搜索场景实现的二叉搜索树支持增删查，不支持修改，因为修改key值破坏二叉搜索树性质了。
使用这种key二叉搜索树的场景，比如小区车库，只有业主的车能进入，车牌号作为key值，就在系统中检查key是否存在以确定是否为业主的车。
还有一种key/value的搜索场景：每一个关键码key，都有与之对应的value，value可以为任意类型对象，增删查还是以key为关键码在二叉搜索树中操作，修改不能改key，但是可以修改value。
使用这种key/value二叉搜索树的场景，比如英语词典，树的结构中存储key（英文）和value（中文），搜索时输入英文作为key进行查找，找到后输出对应的value中文。
key/value二叉搜索树的实现：
namespace lydly
{
template<
class K
,
class V>
struct BSTreeNode
{
BSTreeNode<K, V>
* _left;
BSTreeNode<K, V>
* _right;
K _key;
V _value;
BSTreeNode(
const K& key,
const V& value)
:_left(
nullptr
)
, _right(
nullptr
)
, _key(key)
, _value(value)
{
}
}
;
template<
class K
,
class V>
class BSTree
{
typedef BSTreeNode<K, V> Node;
private:
Node* _root =
nullptr
;
public:
BSTree(
)
{
}
BSTree(
const BSTree<K, V>
& t)
{
_root = Copy(t._root)
;
}
BSTree<K, V>
&
operator=(BSTree<K, V> t)
{
swap(_root, t._root)
;
return *
this
;
}
~BSTree(
)
{
Destory(_root)
;
_root =
nullptr
;
}
bool Insert(
const K& key,
const V& value)
{
if (_root ==
nullptr
)
{
_root =
new Node(key, value)
;
return true
;
}
Node* parent =
nullptr
;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false
;
}
}
cur =
new Node(key, value)
;
if (parent->_key < key)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
return true
;
}
Node* Find(
const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else
if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return cur;
}
}
return
nullptr
;
}
bool Erase(
const K& key)
{
Node* parent =
nullptr
;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
// 准备删除
if (cur->_left ==
nullptr
)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_right;
}
else
{
if (cur == parent->_left)
{
parent->_left = cur->_right;
}
else
{
parent->_right = cur->_right;
}
}
delete cur;
}
else
if (cur->_right ==
nullptr
)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
if (cur == parent->_left)
{
parent->_left = cur->_left;
}
else
{
parent->_right = cur->_left;
}
}
delete cur;
}
else // 两个孩子
{
Node* pMinRight = cur;
Node* minRight = cur->_right;
while (minRight->_left)
{
pMinRight = minRight;
minRight = minRight->_left;
}
swap(cur->_key, minRight->_key)
;
if (pMinRight->_left == minRight)
{
pMinRight->_left = minRight->_right;
}
else
{
pMinRight->_right = minRight->_right;
}
delete minRight;
}
return true
;
}
}
return false
;
}
void InOrder(
)
{
_InOrder(_root)
;
cout << endl;
}
private:
void _InOrder(Node* root)
{
if (root ==
nullptr
)
{
return
;
}
_InOrder(root->_left)
;
cout << root->_key <<
":" << root->_value << endl;
_InOrder(root->_right)
;
}
void Destory(Node* root)
{
if (root ==
nullptr
)
{
return
;
}
Destory(root->_left)
;
Destory(root->_right)
;
delete root;
}
Node* Copy(Node* root)
{
if (root ==
nullptr
)
return
nullptr
;
Node* copy =
new Node(root->_key, root->_value)
;
copy->_left = Copy(root->_left)
;
copy->_right = Copy(root->_right)
;
return copy;
}
}
;
}本篇完，感谢阅读。
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