【题解】CF2031

A

• tag：签到题
• 注意到定住一个值后，左边的值全都得改，右边的值也全都得改
• 注意到，定住的越多，需要改的就越少
• 所以开桶记一下哪个值最多就行

B

• tag：诈骗诈骗签到题
• 读完题容易产生 naive 结论：当且仅当错位的两个地方相邻可以修复，其余情况全部无法修复
• 感觉真不了一点，于是找三个数 ABC 来手模一下
• 发现这个结论好像是真的，交一发
• 过了，那就真了吧

C

• tag：究极神迷构造题
• 注意到如果是偶数直接 11 22 33 44 55 66 就好了
• 接下来讨论奇数
• 注意如果是奇数，必然至少存在一个数出现了奇数次
• 所以必然存在三个点 \(A,B,C\) 使得 \(|AB|^2+|BC|^2=|AC|^2\)
• 注意到最小的满足 \(a^2+b^2=c^2\) 的正整数三元组是 \((3,4,5)\)
• 考虑如何构造：
  • 1 10 26 放一个数
  • 23 27 放一个数
  • 24 25 放一个数
  • 其余地方两两一组放即可
• 显然小于 27 的奇数无解

D

• tag：好题

Sol 1 并查集

• 首先注意到正着跳和反着跳是互逆的，所以我们可以看成只有正或只有反，然后连无向边
• 考虑并查集
• 显然，对于每个 \(i\) 都需要向它前面的比它高的点连边，时间复杂度 \(O(n^2)\)，不可接受
• 考虑优化
• 用一个 pq 维护 \(i\) 之前比 \(i\) 还高的点，键是高度，连一个 pop 一个，并查集同时维护最高高度，离开 \(i\) 时将 \(i\) 和 \(i\) 能到达的最高高度压入 pq 即可
• 显然对于每个 \(i\)，最多进出 pq 一次，所以复杂度 \(O(n\log n)\)

Sol 2 Clever 做法

• 注意到从一个点开始可能先往后再往前，顺序处理比较麻烦。
• 我们考虑最开始可以较为简单求出答案的点，容易发现 \(a_i\) 最大的点往后的点肯定跳到这个点上。
• 于是每次求出答案未确定的点中 \(a_i\) 最大的点。如果它能跳到 \(j\) 且 \(j\) 的答案已求出，答案 \(ans_i=ans_j\) (我们是从大往小枚举，先求出的答案肯定大)。 再让它后面所有没求出答案的 \(j\) 答案为 \(ans_i\) 。
• 非常优美，时间复杂度 \(O(n)\)

E

• tag：好题
• 根据直觉考虑树形 dp
• \(f_{u}\) 表示子树 \(u\) 可满足同构所需最小完美二叉树深度
• 考虑转移：
  • 考虑没有儿子：由于这道题的深度是 0-index，直接返回即可
  • 考虑只有一个儿子：\(f_{u}=f_{v}+1\)
  • 考虑有两个儿子：\(f_{u}=\max(f_{v})+1\)
  • 考虑有好多好多儿子：显然必须逐个合并，考虑合并顺序
    • 显然先合小的更优，于是每个点开 pq 即可
• 答案即为 \(f_{1}\)