命题逻辑(一)

 

命题逻辑

能判断其真假的陈述句

命题的真值：真T、假F

命题的真值是唯一的

命题分为：真命题、假命题、原子命题(简单命题)、复合命题

例如：小张是个大学生，这是一个能判断真假的陈述句，是命题，但是由于不知道小张是什么，所以真值未定

例如：我正在说假话，这不是一个命题，这是一个悖论

例如：2x+5>=10，不等式随着x的变化而变化，违反命题的真值是唯一的，不是命题

¬ 命题的“非”运算(否定)

∧ 命题的“合取”（“与”,"同时")(合取)

p	q	p∧q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

∨ 命题的“析取”（“或”，“可兼或”）运算(析取)

p	q	p∨q
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

→ 命题的“条件”运算（如果...则...）(蕴含词)

p	q	p→q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

如果前置命题(前件)为假,结果(后件)全为真,如果前置为真,则看后置命题

注意:如"只有p,才有q",这相当于,这个结果p,只有q才能实现,即,如果q,则p,除非

↔当且仅当(等价词)

p	q	p↔q
T	T	1
F	T	0
T	F	0
F	F	1

注意：优先级 ¬ > ∧ > ∨ > → > ↔

逻辑符号表

公式类型

重言式：公式真值恒为1（永真式）

矛盾式：公式真值恒为0（永假式）

可满足式：不是矛盾式

赋值（指派）

成假赋值：q、p的一组赋值，使得结果为假

成真赋值：q、p的一组赋值，使得结果为真

例：

q	p	r	(¬p∧q)→¬r
0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

其中成假赋值为：001

其余的均为成真赋值

等值式

若A↔B为永真式，则称A，B是等值的。记作A⇔B，称A⇔B为等值式

注意：有些地方这里用的符号不是⇔，而是=，↔这些。

常见等价式

1. 双否律 ¬¬A⇔A
2. 幂等律 A∧A⇔A A∨A⇔A
3. 交换律 A∧B⇔B∧A A∨B=B∨A
4. 结合律 A∧(B∧C)=(A∧B)∧C A∨(B∨C)=(A∨B)∨C
5. 分配律 A∨(B∧C)=(A∨B)∧(A∨C) A∧(B∨C)=(A∧B)∨(A∧C)
6. 德摩根律 ¬(A∧B) =¬A∨¬ B ¬(A∨B) =¬A∧¬ B
7. 吸收律 A∨(A∨B) = A A∧(A∧B)=A
8. 零律 A∧0=0 A∨1=1
9. 同一律 A∧1=A A∨0=A
10. 排中律 A∨¬A=1
11. 矛盾律 A∧¬A=0
12. 蕴含等值式 A→B=¬A∨B
13. 等价等值式 A↔B=(A→B)∧(B→A)
14. 假言易位 A→B=¬B→¬A
15. 等价否定 A↔B=¬A↔¬B
16. 归谬论 (A→B)∧(A→¬B)=¬A

命题常元(常量) 如:p是雪白色的

命题变元 如:P:

析取范式、合取范式

p为任意命题变量，则p和¬p称为文字

有限个文字的析取称为析取式

有限个文字的合取称为合取式

有限个合取式的析取称为析取范式

有限个析取式的合取称为合取范式

主析取范式、主合取范式

公式	成真赋值	名称
¬p∧¬q	00	m0
¬p∧q	01	m1
p∧¬q	10	m2
p∧q	11	m3

含n个命题变元的合取式G(p1,p2,...,pn)，若每个pi和¬pi出现且仅出现一次，并且出现次序与p1,p2,...,pn的次序保持一直，称该G(p1,p2,...,pn)为一个小项(最小项)。

对析取范式A1∨A2∨A3∨...∨An,若其中每个合取式Ai(i=1,2,3,...,n)都是小项，则称该析取范式为主析取范式。

公式	成假赋值	名称
p∨q	00	M0
p∨¬q	01	M1
¬p∨q	10	M2
¬p∨¬q	11	M3

含n个命题边缘的析取式G(p1,p2,p3,...,pn)，若pi和¬pi出现且仅出现一次，而且出现次序和p1,p2,...,pn的次序保持一致，则称该G(p1,p2,...,pn)为一个大项(极大项)

对合取范式A1∧A2∧...∧An，若其中每个析取式Ai(i=1,2,...,n)都是大项，则称该合取范式为主合取范式。

联结词的完备集

S是一个联结词集合，若任一个命题公式都可以由S中的联结词表示出来命题公式与之等价，则称S是一个联结词完备集。

例如：将P→Q分别化为S1={¬,∧}，S2={¬,∨}，S3={↑}，S4={↓}上的公式。

P→Q=¬P∨Q..............是S2上的公式

=¬¬(¬P∨Q)=¬(P∧¬Q)...............是S1上的公式

=P↑¬Q=P↑(¬Q∨¬Q)=P↑¬(Q∧Q)=P↑(Q↑Q)............是S3上的公式

P→Q=¬P∨Q=¬¬(¬P∨Q)=¬(¬P↓Q)=¬(P↓P↓Q)=(P↓P↓Q)↓(P↓P↓Q)............是S4上的公式