微积分视角下的二维差分的个人粗浅理解

声明：由于博主已经ICPC退役，且本人非数学/计算机科班，在此浅浅分享一下个人的粗浅理解。若有不同想法，欢迎在讨论区共同探讨学习。

提及差分，就不得不提及前缀和。它们像孪生兄弟一样捆绑到了一起，互为逆运算。不难发现，前缀和与差分，实际上就是离散版的微积分。那么在微积分中我们学习了ODE常微分方程，自然也就会有PDE偏微分方程、积分方程、差分方程等。差分方程在经济学、商学中具有重要研究价值，通常会用于预测经济模型。

一维差分很好理解，二维差分却是让每个人都头痛过的问题。下面博主就谈及本人对二维差分的粗浅理解。

一维里，差分算子是\(\Delta x_n = x_{n+1}-x_n\)，它刻画的是沿 \(x\) 轴方向上的变化；二维里，差分不是一个数，而是一组方向上的差分，自然就有两个基本差分算子：

• \(x\) 轴方向上的差分：\(\Delta_x f(i,j)=f(i+1,j)-f(i,j)\)
• \(y\) 轴方向上的差分：\(\Delta_y f(i,j)=f(i,j+1)-f(i,j)\)

这对应连续版中的偏导：\(\Delta_x \leftrightarrow \frac{\partial}{\partial x},\quad \Delta_y \leftrightarrow \frac{\partial}{\partial y}\)。它第一次把差分从一条线，给推到了一个面上。它们回答的问题是：沿着 \(x\) 和 \(y\) 轴格子独立走一步，值分别变了多少。

厘清了单个方向上的差分，那么我们下面将探讨二阶混合差分，这一部分对应的连续版本即为二阶混合偏导。

数学上它写作：\(\Delta_x\Delta_y f(i,j)\)，逐层展开：

\[\Delta_y f(i,j) = f(i,j+1)-f(i,j) \]

\[\Delta_x(\Delta_y f)(i,j)= (f(i+1,j+1)-f(i+1,j))-(f(i,j+1)-f(i,j)) \]

\[= f(i+1,j+1)-f(i+1,j)-f(i,j+1)+f(i,j) \]

这正是我们在ICPC中用的滚瓜烂熟的二维差分公式：\(g(i,j)= f(i,j)- f(i-1,j)-f(i,j-1)+ f(i-1,j-1)\)，它不是在看斜率，而是在看曲率。实际上其对应的就是连续版中的二阶混合偏导 \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x,\partial y}\)。

那么，为什么二维前缀和为什么能还原原数组呢？

我们回顾一下二维差分的定义式：\(D_{i,j}=A_{i,j}-A_{i-1,j}-A_{i,j-1}+A_{i-1,j-1}\)

那么反过来，原数组 \(A_{i,j}\) 可以由 \(D\) 的二维前缀和得到：\(A_{i,j}=\sum_{x=1}^{i}\sum_{y=1}^{j}D_{x,y}\)

其实这就是对差分数组在做前缀和。这一步对应的连续版为二重积分：\(A(x,y)=\int\int \frac{\partial^2 A}{\partial x\partial y},dx,dy\)

所以二维差分的连续版本就是二维混合偏导，二维前缀和的连续版本就是二重积分。