MATLAB简介

MATLAB简介

本文为Oakland University EGR 1400：工程与计算机科学领域的计算机问题的笔记，并假设读者已具有线性代数、C及Python基础。

EGR 1400：

• Part Ⅰ 工程程序(C+外教C#)
• Part Ⅱ 科学计算(MATLAB简介)

MATLAB运行环境

MATLAB简介

• MATLAB：中文意为矩阵实验室(Matrix Lab)，美国MathWorks出品的高端商业(付费)数学软件，基于C++开发，以数值分析、矩阵运算、数据可视化、建模仿真等方面见长。

• MATLAB拥有丰富的生态，以工具箱(Toolbox)提供，涵盖科学计算、信号处理、图像处理、控制工程、人工智能、金融建模等各个前沿领域，是工业和科研界的“瑞士军刀”。

• 前沿应用：

  • 控制工程：飞行器、汽车、机器人系统设计，使用Simulink进行建模与仿真；

  • 数据分析与科学计算：处理大规模实验数据、算法验证、优化计算；

  • 数字信号处理与通信：滤波器设计、通信信号仿真；

  • 人工智能与机器学习：通过专门的工具箱快速搭建神经网络、训练模型。

• 可用于数学建模竞赛的模型建立求解与可视化。

• 进入美国“实体清单”的中国高校被禁止使用MATLAB，如哈工大、西工大、哈工程、北航等。常见替代方案包括Python、Octave等。

MATLAB窗口

• MATLAB是一门解释型语言。与Python相同，MATLAB也分为命令行模式与脚本文件(扩展名.m)模式。
• 命令行模式：输入表达式后立即返回其值，并继续读取输入。这一过程称为REPL(Read-Eval-Print Loop 阅读-执行-打印 循环)。若要取消表达式输出，则在命令后加;。对于较大规模的数据集，则必须取消输出以加快程序执行速度。

变量、数据类型及基本I/O

变量

• MATLAB中变量与Python相同，无需定义，在第一次使用时赋值即可。
• 若不将表达式赋给变量，则其将被赋值给默认变量ans。
• 变量名规则：

  • 必须以字母开头，之后可以是任意字母、数字、下划线。变量名对大小写敏感，不能超过31个字符。

  • 禁止使用内置关键字作为变量名，使用iskeyword查看MATLAB保留关键字。

  • 允许占用内置变量和函数名作为变量名，使用which 符号名查看当前符号所指向的是谁。使用clear 符号名，通过清除工作区内特定变量，从而恢复系统默认指向。

  • 两个重要无理数变量：pi(\(\pi\))，e(\(e\))

• 所有变量均被保存在工作区，在工作区能看到其信息。
• 清除命令行：clc；清除工作区：clear

数据类型及运算符

• 数据类型：整型、浮点型、复数(\(a+bi\))
• 算术运算符：+，-，*，/，^
• 关系运算符：==，~=(不等号)，>，>=，<，<=。关系运算符组成了仅返回0(假)或1(真)的布尔表达式。
• 逻辑运算：&/&&/and(&不具有短路效应，&&具有短路效应，下同)，|/||/or，~/not，xor(逻辑异或)，any(有0为真)，all(无0为真)

基本I/O

• input(str)：从stdin获取输入，str为输入提示信息字符串(不可省略)。
• input(str,'s')：从stdin获取一个字符串('s'指定，MATLAB中字符串为单引号'包围)。
• disp(x)：将变量 \(x\) 输出到stdout，\(x\) 可为标量、向量、矩阵。
  disp([x y])：对多个变量进行输出。当输出包含字符串时，必须将其他内容也转为字符串。num2str：将数字转换为字符串。
• fprintf：格式化输出，其用法及行为与C中的printf一致。

向量及矩阵代数

向量

• 向量：分为行向量和列向量。使用以下方法创建向量：

  • 直接输入：使用[]创建一个向量或矩阵。在向量中，;代表分行符，,代表分列符。
    如[2,3,4]或[2 3 4]为创建行向量\((2,3,4)\)，[2;3;4]代表创建列向量\(\begin{pmatrix}2\\3\\4\end{pmatrix}\)。一般情况下，,用空格代替。

    也可通过其他向量名创建：如A=[2 3 4]，B=[A A]，则\(B=(2,3,4,2,3,4)\)。

  • 冒号法：a:i:b，在 \([a,b]\) 区间内以步长为 \(i\) 创建行向量，注意步长为第二个参数。

  • linspace(a,b,N)：在 \([a,b]\) 中生成 \(N\) 个线性等距点(即等差数列)，公差为 \((b-a)/(n-1)\)。

  • logspace(a,b,N)：在 \([10^a,10^b]\) 生成 \(N\) 个对数等距点(即等比数列)，公比为 \(10^{(b-a)/(N-1)}\)。

    logspace的实现原理：先按原参数生成linspace，再将各个分量 \(x_i\) 替换为 \(10^{x_i}\)。

• 向量尺寸：size(a)，返回一个行向量，第一个分量为 \(a\) 的行数，第二个分量为 \(a\) 的列数。

• 向量中分量的下标从1开始。

• 向量中分量的访问：基本格式：x(sth.)，其中sth.可为：

  • 单个元素：如x(i)为访问分量 \(x_i\)。

  • 向量：常用方法为使用冒号运算符生成向量：

    • x(a:b)：切片出子向量\((x_a,x_{a+1},\dots ,x_{b-1},x_b)\)，步长为1。

    • x(a:i:b)：切片出子向量，步长为 \(i\)。

  • 布尔表达式：如x(x>=6)，返回向量 \(x\) 中所有满足 \(x_i\ge 6\) 的分量所组成的新向量，新向量方向与原向量相同。使用find(布尔表达式)返回所有满足该条件的值的索引，因此等价于x(find(x>=6))。

  注意不能访问越界。

• 向量代数：

  • x'：向量的转置 \(x^T\)。
  • 线性运算：即+，-，*，/，与线性代数的法则及要求一致。
    • 向量与数运算：向量中逐分量与该数运算。对于+和-，直接使用即可；对于*和/，必须显式写为.*或./。
    • 向量与向量运算：
      • 对于+和-：对应分量做运算，要求两向量大小必须相等。
      • 对于*：向量乘法。对于 \(a\times b\)，要求 \(a\) 的列数必须等于 \(b\) 的行数。
      • 对于/(右除)：对于 \(a/b\)，解 \(xb=a\)。
      • 对于\(左除)：对于 \(a\verb|\| b\)，解 \(ax=b\)。
  • 其他运算：基本初等函数(反对幂指三)：逐分量计算。其中逐分量计算幂函数为.^。
  • norm(a)：求向量模长。
  • dot(a,b)：求两向量的点积，等价于 \(a^Tb\)。
  • cross(a,b)：求两向量的叉积，要求两向量的分量数必须为 \(3\)。
  • sum(a)：向量中各分量之和；prod(a)：向量中各分量之积。
  • cumsum(a)：向量中各分量的前缀和；cumprod(a)：向量中各分量的前缀积。

矩阵

• 创建矩阵：

  • 直接输入：矩阵可视为若干个行向量拼接而成，使用;分隔矩阵的行即可。

    A=[
    1 2 3;
    4 5 6;
    7 8 9
    ]
    

    也可通过其他向量及矩阵名创建，如A=[2 3 4]，B=[A';A']，则\(B=\begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 3 \\ 4 & 4 \end{bmatrix}\)。

  • 脚本文件：对于高阶的矩阵，可将其保存到.m文件中，在命令行中输入该文件名，导入文件中的矩阵。注意需要使用;取消输出，否则程序执行可能非常缓慢。

  • load命令：创建一个纯文本文件，文件名即为该矩阵名，一个文件只能代表一个矩阵。文件中直接填充矩阵内容，使用load 文件名加载该矩阵。

• 矩阵尺寸：size(A)。返回一个行向量，第一个分量为 \(A\) 的行数，第二个分量为 \(A\) 的列数。

• 在内存中，矩阵为按列存储。矩阵中每个元素具有一个索引，其编号规则为从1开始，按列优先，从上到下，从左到右。如\(B=\begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 3 \\ 4 & 4 \end{bmatrix}\) 中各元素编号为\(\begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}\)。

• 矩阵元素索引、行下标、列下标均为从1开始。

• 矩阵元素访问：基本格式：A(sth.)，其中sth.可为：

  • 按行列定位：如A(2,3)即访问 \(a_{2,3}\)。
  • 向量：上述方法的行号与列号均可替换为向量，常用方法为使用冒号运算符生成向量：
    • a:b或a:i:b：如 A(2:3,1:4) 表示第2-3行、第1-4行组成的子矩阵。
    • :：表示某一维度上的所有。如A(2,:) 表示第2行的所有元素组成的子矩阵。
    • end关键字：表示某一维度上的最后一项。如A(end,:)表示矩阵 \(A\) 中最后一行最后一列的所有元素。
  • 按索引：A(idx)，其中idx为索引编号。
  • 布尔表达式：如A>=6，返回矩阵 \(A\) 中所有满足 \(a_{i,j}\ge 6\) 的元素所组成的列向量。使用find(布尔表达式)返回所有满足该条件的值的索引，因此等价于A(find(A>=6))。

• 矩阵代数：

  • +，-，*：与线性代数运算法则及要求一致。
    • 矩阵与数运算：矩阵中逐元素与该数运算。对于+和-，直接使用即可；对于*和/，必须显式写为.*和./。
    • 矩阵与矩阵运算：
      • 对于+和-：矩阵尺寸必须一致，为逐元素运算。
      • 对于*：矩阵乘法。对于\(A\times B\)，要求 \(A\) 的列数必须等于 \(B\) 的行数。
      • 对于/(右除)：对于 \(A/B\)，解 \(XB=A\)。
      • 对于\(左除)：对于 \(A\verb|\| B\)，解 \(AX=B\)。
  • 其他运算：基本初等函数均能作用于矩阵，为逐元素计算。
  • A'：求矩阵转置 \(A^T\)
  • diag(A)：提取矩阵 \(A\) 主对角线上的元素；trace(A)：矩阵 \(A\) 的迹。
  • det(A)：方阵 \(A\) 的行列式
  • inv(A)：方阵\(A\) 的逆矩阵
  • sum：对矩阵为各列之和；prod：对矩阵为各列之积
  • cumsum：对矩阵做各列前缀和；cumprod：对矩阵做各列前缀积

• 矩阵操作：

  • 变维：reshape(A,n,m)：将矩阵 \(A\) 中所有元素重排为 \(n\) 行 \(m\) 列的矩阵。重排规则为从上到下，从左到右。
  • 旋转：rot90(A)：将矩阵 \(A\) 逆时针旋转 \(90^\text{o}\)；rot90(A,k)：将矩阵 \(A\) 逆时针旋转 \(k\cdot90^\text{o}\)；fliplr(A)：将矩阵 \(A\) 左右(left & right)翻转；flipud(A)：将矩阵 \(A\) 上下(up & down)翻转。

• 特殊的矩阵：

  • eye(n)：创建 \(n\) 阶单位阵。（单位阵：主对角线为 \(1\)，其余均为 \(0\) 的方阵）
  • ones(n,m)：创建 \(n\times m\) 的全 \(1\) 矩阵；ones(n)：创建 \(n\) 阶全 \(1\) 方阵；ones(size(A))：创建与矩阵 \(A\) 尺寸相同的全 \(1\) 矩阵。
  • zeros(n,m)：创建 \(n\times m\) 的全 \(0\) 矩阵；zeros(n)：创建 \(n\) 阶全 \(0\) 方阵；zeros(size(A))：创建与矩阵 \(A\) 尺寸相同的全 \(0\) 矩阵。
  • rand(n,m)：创建 \(n\times m\) 的随机矩阵，其中元素范围在 \([0,1]\) 区间；rand(size(A))：创建与矩阵 \(A\) 尺寸相同的随机矩阵。
  • magic(n)：创建 \(n\) 阶魔方方阵。(魔方方阵：每行、每列、主副对角线元素之和均相等的方阵。可证 \(1\) 阶魔方阵唯一，不存在 \(2\) 阶魔方阵，\(n\ge 3\) 阶魔方阵数量巨大。MATLAB中魔方阵构造算法固定，每阶只能构造出一个魔方阵。)
  • vander(x)：以向量 \(x\) 创建范德蒙德矩阵。(范德蒙德矩阵：形如 \(\begin{bmatrix} x_1^m & \cdots & x_1^1 & x_1^0\\ x_2^m & \cdots & x_2^1 & x_2^0\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ x_n^m & \cdots & x_n^1 & x_n^0 \end{bmatrix}\) 的矩阵，其中低次幂在右，高次幂在左。)
  • hilb(n)：创建 \(n\) 阶希尔伯特矩阵。(希尔伯特矩阵：每一项 \(H_{i,j}=\frac{1}{i+j-1}\) 的矩阵)

常用函数

• 帮助函数：help

• 运算函数：

  • rem(a,b)：取余
  • sign(x)：符号函数

• 基本初等函数(反对幂指三)：

  • sqrt(x)：\(\sqrt x\)，nthroot(x,n)：\(\sqrt[n]{x}\)
  • exp(x)：\(e^x\)
  • log(x)：\(\ln x\)，log10(x)：\(\lg x\)，log2(x)：\(\log_2 x\)
  • 三角及反三角函数：
    • deg2rad：角度制转弧度制，rad2deg：弧度制转角度制
    • sin，asin；sind，asind：弧度制/角度制下的正弦及反正弦
    • cos，acos；cosd，acosd：弧度制/角度制下的余弦及反余弦
    • tan，atan，atan2(y,x)；tand，atand，atan2d(y,x)：弧度制/角度制下的正切及反正切，其中atan返回值为\([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)，atan2返回值是\([-\pi,\pi]\)。
    • cot，acot；cotd，acotd：弧度制/角度制下的余切及反余切
    • sec，asec；secd，asecd：弧度制/角度制下的正割及反正割
    • csc，acsc；cscd，acscd：弧度制/角度制下的余割及反余割
  • 双曲及反双曲函数：
    • sinh，asinh：双曲正弦及反双曲正弦
    • cosh，acosh：双曲余弦及反双曲余弦
    • tanh，atanh：双曲正切及反双曲正切
    • coth，acoth：双曲余切及反双曲余切
    • sech，asech：双曲正割及反双曲正割
    • csch，acsch：双曲余割及反双曲余割

• 舍入函数：

  • round：四舍五入
  • fix：向 \(0\) 取整
  • floor：向下取整
  • ceil：向上取整

• 数论：

  • factor：分解质因数
  • gcd(x,y)：最大公约数
  • lcm(x,y)：最小公倍数
  • primes(x)：求 \(<x\) 的所有质数
  • isprime(x)：判断 \(x\) 是否为质数，返回一个布尔值

• 数理统计：

  • max/min：求向量/矩阵中的最大/最小值，默认返回一个参数。第二个参数为最值的下标，需使用形如[a,idx]=max(x)的形式显式调用。
  • mean：均值
  • median：中位数
  • mode：众数
  • std：标准差
  • var：方差

• 排序：sort：对向量为升序排列，对矩阵为按列升序排列；sort(x,'descend')降序排列。

流程控制

选择结构

• if语句

  • 单分支结构：

    if condition
    	% command
    end
    

  • 双分支结构：

  if condition
  	% command1
  else
  	% command2
  end
  

  • 多分支结构：

    if condition1
    	% command1
    elseif condition2
    	% command2
    else
    	% command3
    end
    

• switch...case语句

  switch variable
  case condition1
      % command1
  ...
  case condition n
      % command n
  otherwise
      % command n+1
  

• 实例——menu函数：menu('Tip', 'Option1', 'Option2', ...)，用于创建一个图形化菜单，其中参数从提示开始从0顺次编号，返回值即为点选的选项编号。

循环结构

• while循环：

  while condition
  	% command
  end
  

• for循环：

  for 迭代变量 = 可迭代对象
  	% command
  end
  

  可迭代对象可以为向量、矩阵。在迭代矩阵时，为列优先原则。
  Python中用range进行的范围迭代，在MATLAB中通常为使用冒号运算符创建向量代替。

• 跳转语句：break和continue。

文件及自定义函数

• MATLAB文件：.m，分为命令文件与函数文件。函数文件不能独立运行，必须被命令文件调用运行。

• 在MATLAB中，每个函数必须被定义为独立文件，文件名必须为函数名。

  • 设当前函数名为f，参数为x，返回值为y，则函数头为：

    function y=f(x)
    	% command
    end
    

  • 函数可接受多个形参，也可有多个返回值：

    function [a,b,c,...]=f(x,y,z,...)
    	% command
    end
    

    调用时返回值取决于调用方式。若为f(x)为只接收第一个返回值，[a,b]=f(x)为接收前两个返回值。必须按顺序接收返回值，不能跳过。若无需接收，则需用~占位(相当于C++中的ignore和Python的_)。

  • 若无返回值且无形参，则直接写作：

    function f()
    	% command
    end
    

  • 注：函数体需以end结束。

• 函数名命名规则：必须以字母开头，可包含字母、数字、下划线，不能使用保留关键字。

• 行内注释：%；块注释：%{ }%。help命令原理即为打印函数文件开头且连续的注释。

• 查看参数数量：nargin。若在函数文件中使用，则为接收到的形参数量。

• 变是的作用域：命令文件中变量为基工作区变量，其对函数不可见；函数中的变量为局部工作区变量，其生存周期仅限于该函数；使用global标签所定义的变量为全局工作区变量，其对所有工作区可见，global标签需先声明后使用。

• type(s)：查看文件内容，其中s为函数文件名。

可视化

基本二维绘图

• 可视化的层级：
  • Canvs(画布)：底层隐藏画布
  • Figure(图)：图的独立窗口
  • Subplot(子图)：画布上的子图
  • Plot(线)：图上绘制的真实图形
• 使用clf命令清除当前Figure；使用close(x)关闭第x个Figure；使用close all关闭所有Figure。

二维笛卡尔坐标系

• plot：基础绘图命令，为二维笛卡尔坐标系下的绘图。调用时会打开一个新的Figure。使用figure(x)新建第 \(x\) 个Figure。

  • plot(x)：当 \(x\) 为向量时，以分量下标为横坐标，分量值为纵坐标绘图；当 \(X\) 为矩阵时，按列进行绘制，以行下标为横坐标，元素值为纵坐标绘图。
    注：在同一子图上进行plot，则会进行覆盖。使用hold on从而保持该子图中先前绘图，实现追加绘图。

  • plot(x,y)：当 \(x\) 和 \(y\) 是同维向量时，以 \((x_i,y_i)\) 绘图。

  • plot(x1,y1,x2,y2,...)：绘制多条曲线，等价于hold on并顺序执行多个plot。

  • plot(x,y,s)：s为样式控制字符串(以单引号包围)，用于控制线条颜色、粗细，数据点类型、形状等，不同选项可互相叠加。

  • plot(x1,y1,s1,x2,y2,s2,...)：绘制多条曲线，并进行样式控制。

    样式控制字符串可包含以下内容：
    
    

• subplot(n,m,p)：将当前Figure分割为 \(n\times m\) 个子图区域，并将第 \(p\) 个子图用作当前子图。子图编号从左到右，从上到下递增。

• fplot(f,range)：在给定区间range内绘制一元函数 \(f(x)\)。例：fplot(@(x) sin(x), [0, 10]);为绘制 \(\sin x\) 在 \([1,10]\) 内的函数图像。其中@(x) sin(x)为匿名函数，@为函数句柄，(x)为输入参数。

极坐标系

• polar(theta,rho)：极坐标系下的以 \(\theta\) 为极角，\(\rho\) 为极径进行绘图

绘图标注

• axis(xmin,xmax,ymin,ymax)：设置 \(x,y\) 轴最小值和最大值。

• area(x,y)：绘制面积图

• title(s)：添加题注，其中s为单引号字符串

• xlabel(s)：添加 \(x\) 轴标签；ylabel(s)：添加 \(y\) 轴标签。其中s为单引号字符串。

  注：MATLAB中字符串使用单引号标注。若要在字符串中使用单引号，使用两个单引号进行转义。字符串中支持简化的 \(\TeX\) 语法。

• grid on：对笛卡尔坐标系绘制网格图

• legend(s1,s2,...)：按照plot的顺序，为曲线添加图例，其中s1,s2代表字符串。

保存图形

• saveas(gcf,s)：保存当前Figure到s，其中s是图片路径。可选扩展名有.png、.jpg、.fig等。