[题解]2025HDU春季联合(五) - 小凯逛超市

• Souces：1001 - 小凯逛超市
• Abstract：有 \(n\) 种物品和一个容积为 \(m\) 的背包，每种物品有无限多个，对于第 \(i\) 种物品，其价格为 \(g_i\) ，体积 \(v_i\equiv 1\)。求在花费不超过 \(V\) 的情况下，恰好填满背包的方案数。答案对 \(10^9+7\) 取模。
• Limition：多测，\(1\le T\le 5,1\le n,m,V,g_i\le 400\)。
• Keyword：DP(签到题)
• Solution：完全背包求填满方案数板子题。下面以闫氏DP分析法对DP状态进行分析：
  • 状态表示：定义状态 \(dp[i][j][k]\) ，用于表示考虑前 \(i\) 个物品，背包容量恰好为 \(j\) ，且花费恰好为 \(k\) 的方案数，属性为“Sum”。由于空背包也算作一种方案，故 \(dp[0][0][0]=1\)。
  • 状态计算：对于\(dp[i][j][k]\)：
    • 不可选第 \(i\) 种物品：若背包容积不够( \(j\le 0\) )或物品价格大于当前花费( \(g[i]>k\) )时，第 \(i\) 种物品不可选，此时直接转移自第 \(i-1\) 个物品的状态；
    • 可选第 \(i\) 种物品：若 \(j>0\) 且 \(k\ge g_i\) ，则可选第 \(i\) 种物品，此时又分 \(2\) 种情形：
      • 选第 \(i\) 种物品：花费 \(1\) 个体积购买物品 \(i\)，由于为完全背包问题，同一物品可购买多次，状态转移自第 \(i\) 种物品。
      • 不选第 \(i\) 种物品：若已达到约束要求，则第 \(i\) 种物品没必要选，则直接转移自第 \(i-1\) 个物品的状态
  • 因此对于 \(dp[i][j][k]\) ，其满足要求的状态有选 \(i\) 和没必要选 \(i\) 两种，累加这两种情况。最后遍历所有 \(\le V\)的情形累加即可。
• Equation：$$\begin{equation}dp[i][j][k]+=\begin{cases}dp[i-1][j][k],& 不选i(包含不可选与不必要选)\dp[i][j-1][k-g[i]],& 选i\end{cases}\end{equation}$$
• Tip：本题内存限制262144 K，以三维数组刚好以261304 K极限通过。建议采用滚动数组方式压维。
• Code：

  #include<bits/stdc++.h>
  using namespace std;
  const int MOD = 1e9 + 7;
  
  void solve() {
      int n, m, V;
      cin >> n >> m >> V;
      vector<int> g(n+1);
      for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> g[i];
      vector<vector<vector<int>>> dp(n+1, vector<vector<int>>(m+1, vector<int>(V+1, 0)));
      dp[0][0][0] = 1;
      for (int i = 1; i <= n; i++) {
          for (int j = 0; j <= m; j++) {
              for (int k = 0; k <= V; k++) {
                  dp[i][j][k] = (dp[i][j][k] + dp[i-1][j][k]) % MOD;//注意求方案数问题是累加
                  if (j > 0 && k >= g[i]) {
                      dp[i][j][k] = (dp[i][j][k] + dp[i][j-1][k-g[i]]) % MOD;
                  }
              }
          }
      }
      int ans = 0;
      for (int i = 0; i <= V; i++) {
          ans = (ans + dp[n][m][i]) % MOD;
      }
      cout << ans << endl;
  }
  
  int main() {
      ios::sync_with_stdio(0);
      int t;
      cin >> t;
      while (t--) {
          solve();
      }
      return 0;
  }