[LeetCode]Power of N

题目：Power of Two

Given an integer, write a function to determine if it is a power of two.

题意：判断一个数是否是2的k次方数。

思路：

2的次方数使用2进制表示则必然只有最高位是1其他都是0；

这样判断一个数最多需要循环32次就能得出结果。

则程序如下：

bool isPowerOfTwo(int n){
    if (!n)return false;
    while ((n&0x01) != 0x01){//2的次方则只有最高位是1
        n = n >> 1;
    }
    return n == 1;
}

但是这样还有循环，如何不使用循环一下子判断出来呢？

思路2：

2的次方使用二进制只有一个1，而是用下面的方法，可以判断一个二进制序列中只有一个1.

n&(n-1);//n-1会将n中从小到大第一个为1的位置变成0，这样就能判断只有一个1的情况。

bool isPowerOfTwo(int n){
    //2的幂只有一个1，则使用n&(n-1)来统计1的个数
    return n > 0 && !(n & (n - 1));
}

题目：Power of Three

Given an integer, write a function to determine if it is a power of three.

Follow up:
Could you do it without using any loop / recursion?

题意：判断一个数是否是3的k次幂数。

要求：不能使用递归或循环。

思路：

如果可以使用循环，也很简单每次对3求余，就可以了。

bool isPowerOfThree(int n) {
    while (n >= 3){
        if (n % 3)return false;
        n /= 3;
    }
    return n == 1;
}

但是，要求不使用循环或递归。

仔细想想，3的k次幂的数就是，该数的因子只有3，那么使用一个在int范围内最大的3的k次幂的数对给定的数求余，如果为0就说明它是3的k次幂的数。

扩展开来，所有的判断n的k次幂的数都是可以使用这个方法。

bool isPowerOfThree(int n) {
    //int中3的最大次幂数1162261467 
    return n > 0 && !(1162261467 % n);
}

题目：Power of Four

Given an integer (signed 32 bits), write a function to check whether it is a power of 4.

Example:
Given num = 16, return true. Given num = 5, return false.

Follow up: Could you solve it without loops/recursion?

题意：判断一个数是否是4的k次幂数。

要求：不能使用递归或循环。

思路：

4的次幂，乍一看好像和2的次幂差不多，能不能用类似的方法来求解呢？

仔细一想肯定发现不能单纯判断一个1来判断4的次幂，为什么呢？因为4的次幂写成2进制，1只会出现奇数的位置上，当然排除1的情况。

那么只需要在判断1是不是在奇数的位置上是不是就可以判断它是不是4的k次幂。

推敲一下发现可行，程序如下：

bool isPowerOfFour(int n){
    return n > 0 && !(n & (n - 1)) && ((n & 0x55555555) == n);//0x55555555保证在奇数的位置上的1被保留
}

思路2：

还有一个思路，4^k - 1 = ?

如果k是偶数，不妨设k = 2;因式分解得到(4 - 1)*(4 + 1)；

如果k是奇数，不妨设k = 3;因式分解得到(4 - 1)*(4^2 + 4 + 1)；

如果k > 2;不妨设k = 2t，则因式分解得到(4^t - 1)*(4^t + 1)

(4^t - 1)同上面的情况，可以发现总可以分出一个(4 - 1)的因子，所以，4^k - 1 必定会有3的因子。

数学不精，没办法精确证明。

bool isPowerOfFour(int n){
    return n > 0 && !(n & (n - 1)) && !((n - 1)%3);
}