摘要：
给定一个带有序关系 $\leq$ 的全序集 $X$,说集合 $V\subset X$ 是开的,如果对于每个 $x\in V$,都存在一个集合 $I$,$I$ 或者是一个"区间" $\{y\in X:a<y<b\}$ ,其中 $a,b\in X$,或者是一条射线 $\{y\in X:a<y\}$,其中... 阅读全文
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给定一个带有序关系 $\leq$ 的全序集 $X$,说集合 $V\subset X$ 是开的,如果对于每个 $x\in V$,都存在一个集合 $I$,$I$ 或者是一个"区间" $\{y\in X:a<y<b\}$ ,其中 $a,b\in X$,或者是一条射线 $\{y\in X:a<y\}$,其中... 阅读全文
摘要：
证明平凡拓扑不是 Hausdorff 拓扑.证明:这是因为空集无法成为 $X$ 中任意一个元素的邻域.证明:对于 Hausdorff 空间,成立命题 12.1.20 的类比.先叙述出类比.设 $(X,\tau)$ 是 Hausdorff 拓扑空间,并设 $(x^{(n)})_{n=m}^{\inft... 阅读全文
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证明平凡拓扑不是 Hausdorff 拓扑.证明:这是因为空集无法成为 $X$ 中任意一个元素的邻域.证明:对于 Hausdorff 空间,成立命题 12.1.20 的类比.先叙述出类比.设 $(X,\tau)$ 是 Hausdorff 拓扑空间,并设 $(x^{(n)})_{n=m}^{\inft... 阅读全文
摘要：
设 $X$ 是集合,令 $\tau=\{\emptyset,X\}$,证明 $(X,\tau)$ 是拓扑空间(叫平凡拓扑).设 $X$ 含有多于一个的元素,证明平凡拓扑不能由在 $X$ 上定义一个度量得到.证明这个拓扑空间既是紧致的又是连通的.证明:之所以 $(X,\tau)$ 是拓扑空间,是因为首... 阅读全文
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设 $X$ 是集合,令 $\tau=\{\emptyset,X\}$,证明 $(X,\tau)$ 是拓扑空间(叫平凡拓扑).设 $X$ 含有多于一个的元素,证明平凡拓扑不能由在 $X$ 上定义一个度量得到.证明这个拓扑空间既是紧致的又是连通的.证明:之所以 $(X,\tau)$ 是拓扑空间,是因为首... 阅读全文
摘要：
联合命题 13.3.2 和推论 13.4.7,推出关于紧致连通区域上的连续函数的定理,作为推论 9.7.4 的推广.解答:设 $(X,d)$ 是紧致连通度量空间.设 $f:X\to\mathbf{R}$ 是从度量空间 $(X,d)$ 到实直线的连续映射.根据陶哲轩实分析命题 13.3.2,可知存在 ... 阅读全文
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联合命题 13.3.2 和推论 13.4.7,推出关于紧致连通区域上的连续函数的定理,作为推论 9.7.4 的推广.解答:设 $(X,d)$ 是紧致连通度量空间.设 $f:X\to\mathbf{R}$ 是从度量空间 $(X,d)$ 到实直线的连续映射.根据陶哲轩实分析命题 13.3.2,可知存在 ... 阅读全文