摘要：
设 $(X,d_{l_1})$ 是习题 12.1.15 中的度量空间.对于每个自然数 $n$,设$e^{(n)}=(e_j^{(n)})_{j=1}^{\infty}$ 是 $X$ 的元素,满足:当 $n=j$ 时$e_j^{(n)}:=1$ 而当 $n\neq j$ 时 $e_j^{(n)}:=0... 阅读全文
posted @ 2013-03-04 20:08
叶卢庆
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设 $(X,d_{l_1})$ 是习题 12.1.15 中的度量空间.对于每个自然数 $n$,设$e^{(n)}=(e_j^{(n)})_{j=1}^{\infty}$ 是 $X$ 的元素,满足:当 $n=j$ 时$e_j^{(n)}:=1$ 而当 $n\neq j$ 时 $e_j^{(n)}:=0... 阅读全文
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设 $(\mathbf{R},d)$ 是带有标准度量的实直线,给出一个连续函数 $f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ 的例子,使有一个开集 $V\subseteq \mathbf{R}$ 而其象 $f(V):=\{f(x):x\in V\}$ 不是开集.例子:令 $V=\mathb... 阅读全文
posted @ 2013-03-04 15:17
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设 $(\mathbf{R},d)$ 是带有标准度量的实直线,给出一个连续函数 $f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ 的例子,使有一个开集 $V\subseteq \mathbf{R}$ 而其象 $f(V):=\{f(x):x\in V\}$ 不是开集.例子:令 $V=\mathb... 阅读全文
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设 $(X,d)$ 是度量空间.(a)如果 $Y$ 是 $X$ 的紧致子集合,并且 $Z\subseteq Y$,那么 $Z$ 是紧致的当且仅当 $Z$ 是闭的.\begin{proof}当 $Z$ 是紧的,$Z$ 显然是闭的.当 $Z$ 是闭的时候,$Z$ 中的任何一个序列都是 $Y$ 中的序列,... 阅读全文
posted @ 2013-03-04 11:48
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设 $(X,d)$ 是度量空间.(a)如果 $Y$ 是 $X$ 的紧致子集合,并且 $Z\subseteq Y$,那么 $Z$ 是紧致的当且仅当 $Z$ 是闭的.\begin{proof}当 $Z$ 是紧的,$Z$ 显然是闭的.当 $Z$ 是闭的时候,$Z$ 中的任何一个序列都是 $Y$ 中的序列,... 阅读全文
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设 $(X,d)$ 是度量空间,并设 $K_1,K_2,K_3,\cdots$ 是 $X$ 的非空紧致子集合的一个序列,满足$$K_1\supset K_2\supset K_3\supset\cdots$$那么交集 $\bigcap_{n=1}^{\infty}K_n$ 非空.\begin{pro... 阅读全文
posted @ 2013-03-04 00:58
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设 $(X,d)$ 是度量空间,并设 $K_1,K_2,K_3,\cdots$ 是 $X$ 的非空紧致子集合的一个序列,满足$$K_1\supset K_2\supset K_3\supset\cdots$$那么交集 $\bigcap_{n=1}^{\infty}K_n$ 非空.\begin{pro... 阅读全文
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