摘要：
$\mathbf{R}^n$中的紧集是闭有界集.证明：先证明$\mathbf{R}$中的紧集是闭有界集.设$S$是$\mathbf{R}$中的紧集.先证$R\backslash S$是开集.证明采用反证法.假设$R\backslash S$不是开集，则$\exists p\in R\backslas... 阅读全文
posted @ 2013-02-05 16:34
叶卢庆
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$\mathbf{R}^n$中的紧集是闭有界集.证明：先证明$\mathbf{R}$中的紧集是闭有界集.设$S$是$\mathbf{R}$中的紧集.先证$R\backslash S$是开集.证明采用反证法.假设$R\backslash S$不是开集，则$\exists p\in R\backslas... 阅读全文
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设$S\subset \mathbb{R}$,且$\forall s\in S$,$s$都是$S$的孤立点.则$S$是至多可数集.证明：见开集的构造中的引理.注:利用这个结论可以证明一个看起来不太显然的题：$X$是一个不可数的集合,里面的元素都是非负实数.从里面挑出任意多个(但必须是有限个)元素加起... 阅读全文
posted @ 2013-02-05 16:17
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设$S\subset \mathbb{R}$,且$\forall s\in S$,$s$都是$S$的孤立点.则$S$是至多可数集.证明：见开集的构造中的引理.注:利用这个结论可以证明一个看起来不太显然的题：$X$是一个不可数的集合,里面的元素都是非负实数.从里面挑出任意多个(但必须是有限个)元素加起... 阅读全文
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$\bf{Lindelöf}$覆盖定理:假定$A\subseteq \mathbb{R}$,并设$F$是$A$的一个无限开覆盖，则存在$F$的可数子集也覆盖$A$.本文给出与数学分析(Tom M.Apostol)3.1.10 节中对于$\bf{Lindelöf}$覆盖定理的一个不同证明方法.由于$F... 阅读全文
posted @ 2013-02-05 15:20
叶卢庆
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$\bf{Lindelöf}$覆盖定理:假定$A\subseteq \mathbb{R}$,并设$F$是$A$的一个无限开覆盖，则存在$F$的可数子集也覆盖$A$.本文给出与数学分析(Tom M.Apostol)3.1.10 节中对于$\bf{Lindelöf}$覆盖定理的一个不同证明方法.由于$F... 阅读全文
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有限覆盖定理:设$M$是$\mathbf{R}$上的有界闭集.$I$是无限集,$\forall i\in I$,$B_i$都是$\mathbf{R}$上的任意开集.且$M\subseteq \bigcup_{i\in I}B_i$.则必存在$I$的有限子集$S$,使得$M\subseteq \big... 阅读全文
posted @ 2013-02-05 11:06
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有限覆盖定理:设$M$是$\mathbf{R}$上的有界闭集.$I$是无限集,$\forall i\in I$,$B_i$都是$\mathbf{R}$上的任意开集.且$M\subseteq \bigcup_{i\in I}B_i$.则必存在$I$的有限子集$S$,使得$M\subseteq \big... 阅读全文
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