摘要：
设$a>0$是正实数，那么由$f(x):=a^x$定义的函数$f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$是连续的.证明:即证明$\forall x_0\in\mathbf{R}$,\begin{align*} \lim_{x\to x_0}a^x=a^{x_0}\end{align*}即证... 阅读全文
posted @ 2013-01-27 22:46
叶卢庆
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设$a>0$是正实数，那么由$f(x):=a^x$定义的函数$f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$是连续的.证明:即证明$\forall x_0\in\mathbf{R}$,\begin{align*} \lim_{x\to x_0}a^x=a^{x_0}\end{align*}即证... 阅读全文
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$\mathbf{R}$上有限个闭集的并仍然是闭集(无限个闭集的并不一定).这个命题的证明很简单，我看到过的证明方法都是把它使用德-摩根公式转化为开集的相应命题来做的.但是我今天重新看了一下,觉得用极限点的观念来看格外直观和直接.现在用极限点的观念来看为什么有限个闭集的并仍然是闭集.设$I$是有限集... 阅读全文
posted @ 2013-01-27 16:30
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$\mathbf{R}$上有限个闭集的并仍然是闭集(无限个闭集的并不一定).这个命题的证明很简单，我看到过的证明方法都是把它使用德-摩根公式转化为开集的相应命题来做的.但是我今天重新看了一下,觉得用极限点的观念来看格外直观和直接.现在用极限点的观念来看为什么有限个闭集的并仍然是闭集.设$I$是有限集... 阅读全文
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设$X$是$\mathbf{R}$的子集合，证明$\overline{X}$是闭的.进而证明,若$Y$是包含$X$的闭集,那么$Y$也包含$\overline{X}$.证明:$\overline{X}$是闭集的证明请见这里.下面我来证明第二点. \begin{align*} \overline{X}... 阅读全文
posted @ 2013-01-27 14:18
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设$X$是$\mathbf{R}$的子集合，证明$\overline{X}$是闭的.进而证明,若$Y$是包含$X$的闭集,那么$Y$也包含$\overline{X}$.证明:$\overline{X}$是闭集的证明请见这里.下面我来证明第二点. \begin{align*} \overline{X}... 阅读全文
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给出实直线的两个子集$X,Y$的例子，使得\begin{align*}\overline{X\bigcap Y}\neq \overline{X}\bigcap \overline{Y}\end{align*}解:令$X=\mathbf{Q}$,$Y=\mathbf{R}\backslash\mat... 阅读全文
posted @ 2013-01-27 13:04
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给出实直线的两个子集$X,Y$的例子，使得\begin{align*}\overline{X\bigcap Y}\neq \overline{X}\bigcap \overline{Y}\end{align*}解:令$X=\mathbf{Q}$,$Y=\mathbf{R}\backslash\mat... 阅读全文
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设$X$是实直线的子集合，并设$Y$是集合，使得$X\subseteq Y\subseteq \overline{X}$,证明$\overline{Y}=\overline{X}$.证明:因为$X\subseteq Y$,根据引理9.1.11，可知\begin{align*} \overline{X... 阅读全文
posted @ 2013-01-27 12:28
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设$X$是实直线的子集合，并设$Y$是集合，使得$X\subseteq Y\subseteq \overline{X}$,证明$\overline{Y}=\overline{X}$.证明:因为$X\subseteq Y$,根据引理9.1.11，可知\begin{align*} \overline{X... 阅读全文
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我想对定义9.1.10(闭包)做一点延伸.有些人可能会混淆闭包和闭集的定义.其实,闭集的说法不针对某个特定的集合,我们不会说"某个集合的闭集",但是我们会说"某个集合的闭包".下面我来证明集合$A$的闭包肯定是闭集.这是因为假若一个集合A的闭包不是闭集，说明存在$A$的闭包的聚点,该聚点不属于这个闭... 阅读全文
posted @ 2013-01-27 12:26
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我想对定义9.1.10(闭包)做一点延伸.有些人可能会混淆闭包和闭集的定义.其实,闭集的说法不针对某个特定的集合,我们不会说"某个集合的闭集",但是我们会说"某个集合的闭包".下面我来证明集合$A$的闭包肯定是闭集.这是因为假若一个集合A的闭包不是闭集，说明存在$A$的闭包的聚点,该聚点不属于这个闭... 阅读全文
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