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Cauchy’s inequality:If $x_i,y_i(1\leq i\leq n)$ are non-negative real numbers,then$$(x_1y_1+\cdots+x_ny_n)^2\leq (x_1^2+\cdots+x_n^2)(y_1^2+\dots+y_n^... 阅读全文
posted @ 2012-11-08 21:02
叶卢庆
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Cauchy’s inequality:If $x_i,y_i(1\leq i\leq n)$ are non-negative real numbers,then$$(x_1y_1+\cdots+x_ny_n)^2\leq (x_1^2+\cdots+x_n^2)(y_1^2+\dots+y_n^... 阅读全文
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证明\begin{equation} \label{eq:6.31} \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots\end{equation}发散.假设该级数收敛，则\begin{equation} \frac{1}{1}+\fr... 阅读全文
posted @ 2012-11-08 18:48
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证明\begin{equation} \label{eq:6.31} \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots\end{equation}发散.假设该级数收敛，则\begin{equation} \frac{1}{1}+\fr... 阅读全文
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\begin{equation}\label{eq:fiick} \frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots=\frac{3}{4}(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots) \... 阅读全文
posted @ 2012-11-08 17:33
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\begin{equation}\label{eq:fiick} \frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots=\frac{3}{4}(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots) \... 阅读全文
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如果$\sum u_n^2$收敛，那么$\sum \frac{u_n}{n}$收敛.证明:由于$\sum u_n^2$收敛，因此对于任意给定的正实数$\varepsilon$,都存在相应的正整数$N_0$，使得$\forall p,q\geq N_0$,都有\begin{equation} \su... 阅读全文
posted @ 2012-11-08 15:26
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如果$\sum u_n^2$收敛，那么$\sum \frac{u_n}{n}$收敛.证明:由于$\sum u_n^2$收敛，因此对于任意给定的正实数$\varepsilon$,都存在相应的正整数$N_0$，使得$\forall p,q\geq N_0$,都有\begin{equation} \su... 阅读全文
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如果$\sum u_n$收敛，则$\sum u_n^2$和$\sum \frac{u_n}{1+u_n}$也收敛.证明:$\sum u_n$收敛，说明对于任意给定的正实数$\varepsilon$,都存在相应的正整数$N_0$,使得对于一切$p,q\geq N_0$都有\begin{equation... 阅读全文
posted @ 2012-11-08 13:40
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如果$\sum u_n$收敛，则$\sum u_n^2$和$\sum \frac{u_n}{1+u_n}$也收敛.证明:$\sum u_n$收敛，说明对于任意给定的正实数$\varepsilon$,都存在相应的正整数$N_0$,使得对于一切$p,q\geq N_0$都有\begin{equation... 阅读全文
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级数$\sum \left (\frac{nr}{n+1}\right)^n$和$\sum\frac{[(n+1)r]^n}{n^{n+1}}$当$r<1$的时候收敛，当$r\geq 1$的时候发散.证明:\begin{equation} \sum\left(\frac{nr}{n+1}\righ... 阅读全文
posted @ 2012-11-08 01:04
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级数$\sum \left (\frac{nr}{n+1}\right)^n$和$\sum\frac{[(n+1)r]^n}{n^{n+1}}$当$r<1$的时候收敛，当$r\geq 1$的时候发散.证明:\begin{equation} \sum\left(\frac{nr}{n+1}\righ... 阅读全文
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