摘要：
如果$0<a<b<1$,则级数$a+b+a^2+b^2+a^3+\cdots$收敛，证明Cauchy收敛判别法对此级数适用，但是d'Alembert 判别法失效.验证:d'Alembert判别法失效这是因为\begin{equation}\lim_{n\to\infty}\frac{b^n}{a^n... 阅读全文
posted @ 2012-11-07 22:57
叶卢庆
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如果$0<a<b<1$,则级数$a+b+a^2+b^2+a^3+\cdots$收敛，证明Cauchy收敛判别法对此级数适用，但是d'Alembert 判别法失效.验证:d'Alembert判别法失效这是因为\begin{equation}\lim_{n\to\infty}\frac{b^n}{a^n... 阅读全文
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对所有的$r$,级数$\sum \frac{r^n}{n!}$和$\sum \frac{r^n}{n^n}$都收敛，而级数$\sum n!r^n$和$\sum n^nr^n$除了$r=0$之外，对所有的$r$都发散.证明:\begin{equation} \lim_{n\to\infty}\fra... 阅读全文
posted @ 2012-11-07 21:03
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对所有的$r$,级数$\sum \frac{r^n}{n!}$和$\sum \frac{r^n}{n^n}$都收敛，而级数$\sum n!r^n$和$\sum n^nr^n$除了$r=0$之外，对所有的$r$都发散.证明:\begin{equation} \lim_{n\to\infty}\fra... 阅读全文
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级数\begin{equation} \sum \frac{1}{n(n+1)\cdots (n+p)}\end{equation}显然收敛.但是比值判别法和达朗贝尔判别法对此失效.因为\begin{equation}\lim_{n\to\infty} \frac{n(n+1)\cdots (n+... 阅读全文
posted @ 2012-11-07 18:46
叶卢庆
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级数\begin{equation} \sum \frac{1}{n(n+1)\cdots (n+p)}\end{equation}显然收敛.但是比值判别法和达朗贝尔判别法对此失效.因为\begin{equation}\lim_{n\to\infty} \frac{n(n+1)\cdots (n+... 阅读全文
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假设$u_n>0$,$v_n>0$,且对充分大的$n$,比方说对$n\geq n_0$,有 \begin{equation}\label{eq:kill} \frac{v_{n+1}}{v_n}\leq \frac{u_{n+1}}{u_n} \end{equation}且$\sum u... 阅读全文
posted @ 2012-11-07 18:24
叶卢庆
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假设$u_n>0$,$v_n>0$,且对充分大的$n$,比方说对$n\geq n_0$,有 \begin{equation}\label{eq:kill} \frac{v_{n+1}}{v_n}\leq \frac{u_{n+1}}{u_n} \end{equation}且$\sum u... 阅读全文
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不久前我在一本书上看到了这样一句话：“桌上放着一空杯牛奶”.不禁赞叹其妙.本是空杯，何谈牛奶呢？既然可以说桌上放着一空杯牛奶，那么也可以说“桌上放着的其实是一空杯茶”，也可以说“桌上放着的其实是一空杯咖啡”……这句话和数学中的“空集是任何集合的子集”有异曲同工之妙.无是一个很特别的东西，我们说“这是... 阅读全文
posted @ 2012-11-07 15:37
叶卢庆
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