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级数的重排：设$\sum_{n=0}^{\infty}a_n$是绝对收敛的实数级数.并设$f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$是双射.那么级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_{f(n)}$也是绝对收敛的.且$$\sum_{n=0}^{\infty}a_n=\sum_{m=... 阅读全文
posted @ 2012-11-02 21:31
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级数的重排：设$\sum_{n=0}^{\infty}a_n$是绝对收敛的实数级数.并设$f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$是双射.那么级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_{f(n)}$也是绝对收敛的.且$$\sum_{n=0}^{\infty}a_n=\sum_{m=... 阅读全文
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设$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n$是收敛的非负实数级数.并设$f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$是双射.那么$\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}a_{f(m)}$也收敛.并有同样的和$$\sum_{m=0}^{... 阅读全文
posted @ 2012-11-02 19:37
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设$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n$是收敛的非负实数级数.并设$f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$是双射.那么$\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}a_{f(m)}$也收敛.并有同样的和$$\sum_{m=0}^{... 阅读全文
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设$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n$是绝对收敛的实数级数,使得$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|=0$.则对于每个自然数$n$,$a_n=0$.证明：$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a... 阅读全文
posted @ 2012-11-02 19:18
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设$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n$是绝对收敛的实数级数,使得$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|=0$.则对于每个自然数$n$,$a_n=0$.证明：$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a... 阅读全文
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设$(a_n)_{n=1}^{\infty}$是一个非负实数的不增序列，那么级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛当且仅当级数$$\sum_{k=0}^{\infty}2^ka_{2^k}=a_1+2a_2+4a_4+8a_8+\cdots$$收敛.证明：$\Leftarrow$:... 阅读全文
posted @ 2012-11-02 18:58
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设$(a_n)_{n=1}^{\infty}$是一个非负实数的不增序列，那么级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛当且仅当级数$$\sum_{k=0}^{\infty}2^ka_{2^k}=a_1+2a_2+4a_4+8a_8+\cdots$$收敛.证明：$\Leftarrow$:... 阅读全文
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设$\sum_{n=m}^{\infty}a_n$和$\sum_{n=m}^{\infty}b_n$是两个实数的收敛级数.并设对于一切$n\geq m$,$|a_n|\leq b_n$.如果$\sum_{n=m}^{\infty}b_n$收敛，那么$\sum_{n=m}^{\infty}a_n$绝对... 阅读全文
posted @ 2012-11-02 16:14
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设$\sum_{n=m}^{\infty}a_n$和$\sum_{n=m}^{\infty}b_n$是两个实数的收敛级数.并设对于一切$n\geq m$,$|a_n|\leq b_n$.如果$\sum_{n=m}^{\infty}b_n$收敛，那么$\sum_{n=m}^{\infty}a_n$绝对... 阅读全文
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设$(a_n)_{n=0}^{\infty}$是收敛于0的实数列.则级数$\sum_{n=0}^{\infty}(a_n-a_{n+1})=a_0$证明：先看$\sum_{n=0}^N(a_n-a_{n+1})$,由数学归纳法易得它的值为$a_0-a_{N+1}$.而$\lim_{N\to \inf... 阅读全文
posted @ 2012-11-02 16:09
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设$(a_n)_{n=0}^{\infty}$是收敛于0的实数列.则级数$\sum_{n=0}^{\infty}(a_n-a_{n+1})=a_0$证明：先看$\sum_{n=0}^N(a_n-a_{n+1})$,由数学归纳法易得它的值为$a_0-a_{N+1}$.而$\lim_{N\to \inf... 阅读全文
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我只证明(a)：(a)如果$\displaystyle\sum_{n=m}^{\infty}a_n$是实数级数，收敛到$x$.$\displaystyle\sum_{n=m}^{\infty}b_n$是实数级数，收敛到$y$.则$\displaystyle\sum_{n=m}^{\infty}(a_... 阅读全文
posted @ 2012-11-02 15:28
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我只证明(a)：(a)如果$\displaystyle\sum_{n=m}^{\infty}a_n$是实数级数，收敛到$x$.$\displaystyle\sum_{n=m}^{\infty}b_n$是实数级数，收敛到$y$.则$\displaystyle\sum_{n=m}^{\infty}(a_... 阅读全文
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设$\displaystyle\sum_{n=m}^{\infty}a_n$是实数的形式级数.则$\displaystyle\sum_{n=m}^{\infty}a_n$收敛当且仅当对于每个实数$\varepsilon>0$,都存在整数$N\geq m$使得$$|\sum_{n=p}^qa_n|\l... 阅读全文
posted @ 2012-11-02 10:08
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设$\displaystyle\sum_{n=m}^{\infty}a_n$是实数的形式级数.则$\displaystyle\sum_{n=m}^{\infty}a_n$收敛当且仅当对于每个实数$\varepsilon>0$,都存在整数$N\geq m$使得$$|\sum_{n=p}^qa_n|\l... 阅读全文
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设$\displaystyle\sum_{n=m}^{\infty}a_n$是实数的形式级数，如果这个级数是绝对收敛的，那么它是条件收敛的.证明：该级数绝对收敛，说明对于任意给定的正实数$\varepsilon$,都存在整数$N$,使得对于一切$p,q\geq N$，有$$\sum_{n=p}^{q... 阅读全文
posted @ 2012-11-02 01:39
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设$\displaystyle\sum_{n=m}^{\infty}a_n$是实数的形式级数，如果这个级数是绝对收敛的，那么它是条件收敛的.证明：该级数绝对收敛，说明对于任意给定的正实数$\varepsilon$,都存在整数$N$,使得对于一切$p,q\geq N$，有$$\sum_{n=p}^{q... 阅读全文
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注:陶哲轩在这里用公理化方法引进了一个新对象“形式无限级数”.这种手段之前陶也干过，在定义整数的时候，陶哲轩是引入自然数的形式减法，实际上也是用公理化方法引入新对象.在定义有理数的时候，陶哲轩是引入整数的形式除法，在定义实数的时候，陶哲轩是引入了新对象“形式极限$\hbox{LIM}a_n$”.而现... 阅读全文
posted @ 2012-11-02 01:26
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注:陶哲轩在这里用公理化方法引进了一个新对象“形式无限级数”.这种手段之前陶也干过，在定义整数的时候，陶哲轩是引入自然数的形式减法，实际上也是用公理化方法引入新对象.在定义有理数的时候，陶哲轩是引入整数的形式除法，在定义实数的时候，陶哲轩是引入了新对象“形式极限$\hbox{LIM}a_n$”.而现... 阅读全文
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设$X$和$Y$是有限集，并设$f:X\times Y\to\mathbb{R}$是函数.那么$$\sum_{x\in X}\left(\sum_{y\in Y}f(x,y)\right)=\sum_{(x,y)\in X\times Y}f(x,y)$$证明：先搞清楚$\sum_{x\in X}\... 阅读全文
posted @ 2012-11-02 00:34
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设$X$和$Y$是有限集，并设$f:X\times Y\to\mathbb{R}$是函数.那么$$\sum_{x\in X}\left(\sum_{y\in Y}f(x,y)\right)=\sum_{(x,y)\in X\times Y}f(x,y)$$证明：先搞清楚$\sum_{x\in X}\... 阅读全文
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