陶哲轩实分析习题17.3.3

设$f:\mathbf{R}^2\to \mathbf{R}$是函数，定义如下
\begin{equation}
\begin{cases}
\frac{x^3}{x^2+y^2}~~~(x,y)\neq (0,0)\\
0~~~(x,y)=(0,0)\\
\end{cases}
\end{equation}
证明，尽管$f$在$(0,0)$处沿每个方向$v\in\mathbf{R}^2,v\neq (0,0)$都是可微的，但是它在$(0,0)$处却是不可微的.

证明：

欲证明$f$在$(0,0)$处沿$v$可微，只用证明极限
\begin{equation}
\lim_{t\to 0;t>0}\frac{f((0,0)+t(v_1,v_2))-f(0,0)}{t}
\end{equation}存在

其中$v=(v_1,v_2)$.且$v_1,v_2$中至少有一个不为0.即证明
\begin{equation}
\lim_{t\to 0;t>0}\frac{f((tv_1,tv_2))}{t}
\end{equation}存在.
即证明
\begin{equation}
\lim_{t\to 0;t>0}\frac{t(v_1^3)}{v_1^2+v_2^2}
\end{equation}存在.这是显然的.
下面，证明$f$在$(0,0)$不可微.因为，假如$f$在$(0,0)$可微，则根据 http://www.cnblogs.com/yeluqing/archive/2012/09/15/2687065.html ，可得
$f$在$(0,0)$的全导数为$(0,0)$.根据导数的定义即
\begin{equation}
\lim_{x\to (0,0);x\neq (0,0)}\frac{f(x)}{||x||}=0
\end{equation}
即
\begin{equation}
\lim_{x\to (0,0);x\neq (0,0)}\frac{x'^3+y'^3}{(x'^2+y'^2)^{\frac{3}{2}}}=0
\end{equation}
其中$x=(x',y')$.我们令$y'=x'$,则
\begin{equation}
\lim_{x\to (0,0);x\neq (0,0)}\frac{x'^3+y'^3}{(x'^2+y'^2)^{\frac{3}{2}}}
\end{equation}
变为
\begin{equation}
\lim_{x\to (0,0);x\neq (0,0)}\frac{2x'^3}{\sqrt{2}^3x'^3}=\frac{2}{\sqrt{2}^3}
\end{equation}
因此矛盾.可见，假设错误，即，$f$在$(0,0)$处不可微.

 

 

注:之所以$f$在$(0,0)$处偏导数都存在，而在$(0,0)$处的导数却不存在，是因为$f$在$(0,0)$处的偏导数虽然存在，但是不连续, 根据这篇博文，可知$f$在$(0,0)$处不可微.详细验证如下:

\begin{equation}\frac{\partial f}{\partial x}(x,0)=\frac{3x^2(x^2+y^2)-x^3(2x)}{(x^2+y^2)^2}=1\end{equation}其中$x\neq 0$.而我们知道，$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0$,因此$f$在$(0,0)$处的偏导数是不连续的.