陶哲轩实分析习题18.4.10

设$A\subseteq B\subseteq \mathbb{R}^n$,$B$是$\mathbb{R}^n$上的勒贝格可测集，且测度为0，则$A$可测且$A$的测度为0.

证明：由于$m^*(B)=0$,根据外测度的单调性，$m^*(A)\leq m^*(B)=0$.下证$A$是可测的.即证$\forall M\subseteq \mathbb{R}^n$,有
$$m^*(M)=m^*(M\backslash A)+m^*(M\bigcap A)$$由于$m^*(M\bigcap A)\leq m^*(A)$,因此$m^*(M)=0$.因此只用证

$$m^*(M)=m^*(M\backslash A)$$
这是容易的.因为
$$m^*(M)\geq m^*(M\backslash A)$$
下证
$$m^*(M)\leq (M\backslash A)$$
这是容易的，因为根据外测度的次有限可加性，
$$m^*(M\backslash A)+m^*(A)\geq m^*(A)$$
即
$$m^*(M\backslash A)\geq m^*(A)$$
证毕.

 

注:由于零测集的子集是零测集，再加上可测集的可数可加性，我们可得可数个零测集的并也是零测集.