陶哲轩实分析 习题 7.5.2

设$x,q\in\mathbb{R}$,且$|x|<1$.证明级数$\sum_{n=1}^{\infty}n^qx^n$绝对收敛，且$\lim_{n\to\infty}n^qx^n=0$.

 

证明：采用方根判别法.$\limsup_{n\to\infty}(n^q|x|^n)^{\frac{1}{n}}=\limsup_{n\to \infty}(n^{\frac{1}{n}})^q|x|=|x|<1$.因此绝对收敛.由于绝对收敛，因此当然有$\lim_{n\to\infty}n^qx^n=0$.