陶哲轩实分析 引理 8.2.3 证明

设$X$是至多可数的集合，并设$f:X\to \mathbb{R}$是函数.那么级数$\sum_{x\in X}f(x)$是绝对收敛的当且仅当
$$\sup\left\{\sum_{x\in A}|f(x)|:A\subsetneq X,A\mbox{是有限集合}\right\}<\infty$$

 

证明：$\Rightarrow$是容易的.

$\Leftarrow$:不妨设$X$是可数集.存在$\mathbb{N}$到$X$的双射$g$.若级数$\sum_{x\in X}f(x)$不是绝对收敛的，则对于任意实数$w$,都存在相应自然数$N$,使得$\sum_{i=0}^{N}|f(g(i))|>w$.这与$$\sup\left\{\sum_{x\in A}|f(x)|:A\subsetneq X,A\mbox{是有限集合}\right\}<\infty$$矛盾.