函数论_E.C.Tichmarsh_Page 4 例题 i,ii

i:幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}x^n$在$[a,b]$上一致收敛.此处$-1<a<b<1$.

证明:首先易得$|x|\leq\max\{|a|,|b|\}$,因此$|x|^n\leq\max\{|b|^n,|a|^n\}$.而且级数$\sum_{i=0}^{\infty}|b|^n$和级数$\sum_{i=0}^{\infty}|a|^n$都是绝对收敛级数，因此根据魏尔斯特拉斯-m 判别法，可知$\sum_{n=0}^{\infty}x^n$在$[a,b]$上一致收敛.

 

ii:三角级数

\begin{equation}
\label{eq:5.13.45}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos nx}{n^2}
\end{equation}
在任何区间上都一致收敛.

证明:首先，对于任意的实数$x$,以及任意的正整数$n$,都有
\begin{equation}
\label{eq:5.13.47}
| \frac{\cos nx}{n^2}|\leq \frac{1}{n^2}
\end{equation}
而易得
\begin{equation}
\label{eq:5.13.49}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}
\end{equation}
是绝对收敛的级数(为什么?提示:中学里常见的题目，先放缩,再使用裂项法).因此根据魏尔斯特拉斯-m 判别法，
可知
\begin{equation}
\label{eq:5.13.48}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos nx}{n^2}
\end{equation}
绝对收敛.