纯数学教程 Page 203 例XLI (2)

证明:如果$\phi(x)$是一个多项式,$\phi(x)$可以被$(x-a)^m$整除，则$\phi'(x)$可以被$(x-a)^{m-1}$整除.

证明:设$\phi(x)=P(x)(x-a)^m$.则$\phi'(x)=P'(x)(x-a)^m+mP(x)(x-a)^{m-1}$.而显然
\begin{equation}
(x-a)^{m-1}|P'(x)(x-a)^m+mP(x)(x-a)^{m-1}
\end{equation}