$M$的冪集的勢不大於$M$的所有排列形成的集合的勢

設$M$是一個集合.設從$M$到自身的所有雙射形成的集合爲$K$,則$2^{M}$的勢不大於$K$的勢.

 

證明:設$x$是$M$的任意一個子集,我們對$M$實施如下操作,這樣的操作的名字我們叫做對於$M$的$x$操作，操作本身就是一個從$M$到$M$自身的雙射:

 

當$p\in M\backslash x$時,讓$p$對應到$p$自身.而對$x$內的元素進行全部打亂的排列(即$x$內的元素必定不對應到自身)(注意對$x$內的元素進行全部打亂要用到選擇公理,爲什麼?).

 

易得,當$x,y\subset M$,且$x\neq y$時,我們對$M$的$x$操作形成的雙射與對$M$的$y$操作形成的雙射是不同的.因此存在從$2^M$到$K$的單射,可見命題成立.

 

注:我在StackExchange提出了這個問題,結果也有人替我回答了.