陶哲轩实分析 习题 7.2.6 (嵌套级数)

设$(a_n)_{n=0}^{\infty}$是收敛于0的实数列.则级数$\sum_{n=0}^{\infty}(a_n-a_{n+1})=a_0$

证明：先看$\sum_{n=0}^N(a_n-a_{n+1})$,由数学归纳法易得它的值为$a_0-a_{N+1}$.而$\lim_{N\to \infty}a_{N}=0$，所以$\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^N(a_n-a_{n+1})$存在且为$a_0$.