解析函数论 Page 8 $\log (1+x)$的泰勒展开

当$|x|<1$时，$\log (1+x)$的泰勒展开.

解:是
\begin{equation}
\label{eq:11.13}
x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+\cdots
\end{equation}
易得当$|x|<1$时，
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty}|\frac{\frac{1}{n+1}x^{n+1}}{\frac{1}{n}x^n}|=|x|<1
\end{equation}
因此该无穷级数绝对收敛.